9. Сходящиеся последовательности.

Число а называется пределом последовательности {х„}, если для любого положительного Числа  существует номер N₀=N₀(), такой что для всехэл-в послед-ти с номерами большими N₀ выполняется неравенство

|x_n – а |< 

Последовательность, имеющая предел – сходящаяся последовательность.

Если послед-ть сходится и имеет пределом число а ,то lim x_n =a

^x-∞

Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любой -окрестности точки а существует номер N₀, такой что все элементы послед-ти с номерами n>N₀ находятся в этой -окрестности. Если послед-ть не имеет предела, то она является расходящейся, т.е. послед-ть не является сходящейся.

Любая б.б.п. не имеет предела lim x_n =∞

^х-∞

Любая б.м.п. является сходящейся и ее предел равен 0.

Если послед-ть х_n является сходящейся и имеет своим пределом число а, то послед-ть {α_n}={x_n –a} является б.м.п.

10.теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность, имеет только один предел.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что числа а и b являются пределами; сходящейся последовательности {х_n} и а ≠ b, тогда любой эл-т сходящейся послед-ти можно представить х_n=а+ α_n и x_n = b+ β_n , где ( α_n и β_n ) - элементы бесконечно м. п. { α_n } и { β_n }. получим а+ α_n = b+ β_n ; α_n - β_n = b-a Так как все эле­менты б. м. последовательности - { α_n - β_n } равны одному и тому же числу b-a, то по лемме b—а=0, т.е. b=a, Теорема доказана

11 . сумма ,произведение, частное сходящихся послед-ей.

Сумма (paзность) двух последовательностей { х_n } и { y_n } есть сходящаяся посл., предел которой равен сумме (разности) пределов п. { x_n } и { y_n }.

Доказательство: Пусть a и b пределы последовательностей { x_n } и { y_n } соответственно. Тогда любой эл-т послед-ти { x_n } можно представить x_n = а + α_n , а любой эл-т { y_n }-

У_n= b + β_n ,где { α_n } и { β_n } б.м.п.

Тогда x_n ± y_n = (a + α_n) ± ( b + β_n ). Тогда (x_n ± y_n)- (а±b) = α_n± β_n

{α_n± β_n) б.м. п. по св-ву б.м.п.

Таким образом, послед-ть {( x_n ± y_n) – ( а±b)} также бесконечно малая, а значит последовательность сходится и имеет своим пределом число а ± b. Теорема Доказана.

12. Предельный переход в неравенствах.

Если элементы сходящейся последовательности х_n  начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству х_n b (х_n b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству ab (ab). Доказательство. х_n b

Предположим противное, что а<b . тогда для =b-a> 0 существует такой номер N, что при всех n>N выполняется неравенство | x_n -а|<=b-a из этого следует а-b< x_n-a< b-a; 2a-b<x_n< b. Из правой части неравенства получаем, что x_n< b для всез эл-в послед-ти с номерами большими N, а это противоречит условию теоремы. След-но, а≥b

Следствие 1

Если все эл-ты сходящейся послед-тей {x_n}{y_n} начиная с некоторого номера удовлетвор неравенству х_n≤y_n , то и их пределы удовлетворяют неравенству lim x_n ≤ lim y_n

^{n-∞ n-∞}

следствие 2

если все эл-ты сходящейся послед-ти {x_n} начиная с некоторого номера , находящегося на сегменте Х [ a; b], то и предел этой послед-ти находится на этом же сегменте.

13. теорема о трех последовательностях.

Если { х_n }, { y_n } и { z_n } – сходящиеся последовательности, причем x_n ≤ y_n ≤ z_n для всех n, а последовательности { x_n } и { y_n } имеют одинаковые предел а, тогда последовательность { y_n } имеет тот же предел а.

Доказательство. Пусть - произвольное положительное число. По этому  можно указать такой номер N₁ для последовательности { х_n }, что при n>N₁ будет справедливо неравенство | x_n-а|<, или а- < x_n <а+.(*) По тому же числу  для последовательности { z_n } найдется такой номер N₂, что при всех n>N₂ выполняется неравенство |z_n –a| < или а- < z_n <а+. (**). Возьмем N=max(N1, N2), тогда при n>N будут одновременно выполняться оба этих неравенства(*) и (**). Используя левое неравенство (*) и правое неравенство (**) а также неравенство данное в условии теоремы получаем а-< х_n ≤ z_n <а+, ;а- < y_n <a+ для всех n>N; |y_n -a|<. Это неравенство означает, что число а- предел последовательности { y_n }, что и требовалось доказать.

14. Монотонные последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Посл-ть {Xn} назыв-ся возрастающей, еслиn Xn<Xn+1; невозрастающей, если n Xn≥Xn+1; неубывающей если n Xn≤Xn+1; убывающей, если n Xn>Xn+1.

Все эти последовательности называют монотонными, возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными.

Все монотонные последовательности ограничены хотя бы с одной стороны.

Теорема: О сходимости монотонной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Любая неубывающая последовательность, ограниченная сверху, - сходящаяся.

Любая невозрастающая последовательность, ограниченная снизу, - сходящаяся.

Доказательство: (для неубывающей) Для Xn≤Xn+1 для n. Так как последовательность ограничена, то существует число А такое, что выполняется неравенство Xn<А для n. Рассмотрим множество Х, состоящее из элементов последовательности {Xn}. По условию это множество ограничено сверху и не пусто  Множество Х имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через А и докажем, что А – предел {Xn}.

Так как А – точная верхняя грань множества Х, то для  найдется номер N такой, что XN >A - . Так как последовательность {Xn} неубывающая, то при n>N имеем Xn>A - . С другой стороны, XnA<A+ для n. Т. о., при n>N получаем неравенство A - <Xn<A+, т. е. |Xn – A|<  при n>N  А – предел последовательности {Xn}.

Замечание: ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходящейся последовательности.