3Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.

Теорема:Любое не пустое огр-е сверху множ-во имеет точную верх грань. Док-во: Пусть Х не пуст множ-во,огр сверху.Тогда У множ-во чисел,огр-х множ-во Х сверху,не пусто.Из опр-я верх-й грани следует что для любого хэХ и уэУ вып-я нер-во x≤y.В силу св-ва непрерывности вещ-х чисел сущ-т с, что для любых х и у вып нер-ва х≤с≤у.Из первого нер-ва следует что число с огр-т множ-во Х сверху,т.е явл верхней гранью. Из второго след что чило с явл наим из таких чисел,те явл точной верх-й гранью. аналогично для нижней.

4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.

4. Открытые, замкнутые множества, компактность множества, отображение.

ОПР1: Точка хХ называется внутренней точкой этого множества, если >0, что -окрестность точки  Х.

ОПР2: Множество Х называется открытым, если любая его точка является внутренней.

ОПР3: Множество Х называется замкнутым, если оносодержитт все свои предельные точки.

ОПР4: Мноежество Х называется компактным, если оно является замкнутым и ограниченным.

ОПР5: Пусть даны множества Х и У. Если каждому хХ по некоторому закону f поставлен в соответствие элемент уУ, то на множестве Х задано отображение множества У.

По определению Ø и R считаются замкнутыми множествами.

5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.

Если каждому числу nN поставлено в соответствии по определенному закону некоторое x_nR, то множество вещ-х чисел х₁, х_2,..., х_n называется числовой последовательностью. х₁, х_2,..., х_n- элементы последовательностти. Посл-ть считается заданной, если указан способ получения любого ее эл-нта. Способы задания числ посл-ти:

а) формула общего члена - xn=n-1\n+1 (0,1\3,1/2,3/5…)

б)алгоритмически, т.е задан некий алгоритм, позволяющий получить.

в)рекурентный, заключается в получении последовательных эл-в послед-ти на основе предыдущих. (система:х1=1, х_n+1=x_n+2; получим 1, 3, 5…).

Г) геометрически {1\n}

Любая последовательность имеет бесконечное число эл-в.

Арифм-е действия над последовательностями: пусть даны послед-ти Х_и и У_n 1)произведением послед-ти на число а назовем послед-ть, сост из ах₁, ах₂, ах_n аR, а*{Xn}={a*Xn};

2) суммой посл-тей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁+у₁,х₂+у₂,х_n+у_n {Xn}+{Yn}={Xn+Yn};

3) разностью послед-ей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁-у₁,х₂-у₂,х_n-у_n {Xn}-{Yn}={Xn-Yn};

4) Произведением послед-ей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁*у₁,х₂*у₂,х_n*у_n {Xn}*{Yn}={Xn*Yn};

5)Частным послед-ей назовем послед-ть,сост из эл-в х₁ \ у₁ , х₂ \ у₂ , х_n \ у_{n /}{Xn}\{Yn}={Xn\Yn}, для n Yn≠ 0.

6. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая посл-ть называется огр-ой сверху (снизу), если сущ-т некоторое М(m)R, такое что любой эл-т послед-ти удовл неравенству Xn≤M (Xn≥m)

Посл-ть называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е.  m,MR ,такое что любой эл-т Х_n удовлетворяет неравенству m  Xn  M. Если С≡max{|m|,|M|}, то определение огр-ой посл-ти можно записать следующим образом: ( С>0) (nN ) |Xn| C.

Посл-ть называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого числа А найдется такое nN, для которого выполняется следующее неравенство: |Xn|>A.