2. Синтез оптимального управления.
Ограничения на состояния х отсутствует (1-3). Множество М допустимых процессов – это множество пар вектор - функции x(t), u(t), удовлетворяющих условиям задачи и накладывающих на них соответствующие ограничения. Множество М зависит от t0, x0 т.е., М=М(t0, x0). При изменении аргументов t0, x0 на t0*, x0* получим новое допустимое множество М(t0, x0).
Если решать задачу при различных параметрах (t0, x0), оставляя без изменения другие условия задачи, то получим семейство оптимизационных задач А.
Зададим уравнение в виде функции
u=u*(t, x), u*(t, x)Vtx (6)
Задав начальное состояние t0, x0 и подставляя выражение (6) в уравнение (2), получим (решая задачу Коши) вектор состояния x*(t, t0, x0), отвечающий заданному закону управления. Это решение является допустимым, т.к. отсутствует ограничение на состояние системы. Подставляя его в выражение (6), получим соответствующее ему управление в виде функции времени:
т.е. значение и вдоль траектории – функции состояния.
Вектор-функция u*(t, x) является синтезом оптимального управления, если процесс
V*(t, t0, x0)=(x*(t, t0, x0), u*(t, t0, x0))
есть решение задачи А для любых t0, x0. Это означает, что как только получена вектор-функция u*(t, x) и подставлена в уравнение процесса при любых t0, x0 найденный процесс становится оптимальным.
Зная оптимальную синтезирующую функцию u*(t, x) получаем решение не одной оптимизационной задачи, а семейства задач А при различных начальных условиях, наложенных на время и состояние системы (t0, x0). В этом состоит отличие от метода Лагранжа-Понтрягина, где оптимальное решение отыскивается не в форме синтеза оптимального управления u*(t, x), а в виде программы u*(t).
В теории автоматизированного регулирования u(t, x) называют управлением с обратной связью, а u(t) – программой управления.
В экономических задачах программа управления u(t) соответствует принятию решений на перспективу, а синтеза u(t, x) – регулированию (отслеживанию плана и принятию оперативных решений). Синтез оптимальных уравнений u*(t, x) в случае отклонения состояния системы от планового значения дает оптимальное решение и при новом её состоянии характеризующемся начальным уравнением х0. Программное уравнение, независящее от текущего состояния х при этом теряет свою оптимальность.
Тема 16. Оптимальное управление
Оптимальное управление — раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи.
Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены "рулями" — с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается некоторыми уравнениями, куда входят и управляющие параметры, характеризующие положение "рулей". Возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления движением. Речь может идти о достижении цели движения за минимальное время. Этот вопрос является задачей вариационного исчисления. В отличие от классических вариационных задач, где управляющие параметры меняются в некоторой открытой области(без границы), теория оптимального управления охватывает и тот случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения.
Само зарождение (в начале 50-х годов 20 века) теории оптимального управления представляет собой яркий пример, того как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Д ля новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного производства характерное стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы.
Центральным результатом теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведённые Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходный пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории оптимального управления. При решении ряда задач оптимального управления с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны американским учёным Р. Беллманом и его сотрудниками.
Понтрягин Лев Семенович (1908-88), российский математик, академик АН СССР (1958), Герой Социалистического Труда (1969). В 13 лет потерял зрение. Труды по топологии, теории непрерывных групп, дифференциальным уравнениям, фундаментальные труды по математической теории оптимальных процессов, в которой создал научную школу. Ленинская премия (1962), Государственная премия СССР (1941, 1975).
Принцип максимума, как достаточное условие оптимальности управляемых процессов не гарантирует оптимальности. Он только позволяет отсекать из множества допустимых заведомо неоптимальные процессы, когда его условия не выполняются, а остальные процессы, удовлетворяющие принципу максимума следует воспринимать лишь как кандидаты в оптимальные.
Даже если он один, из содержательных условий задачи должно вытекать знание о наличии оптимального процесса. Тогда этот процесс и будет оптимальным. Однако при строгих рассуждениях нужны более точные аналитические оценки.
Динамическое программирование — это вычислительный метод для решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950-1953 гг. благодаря работам Р. Беллмана над динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.
Основные необходимые свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:
Задача должна допускать интерпретацию как n-шаговый процесс принятия решений.
Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.
При рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.
Выбор решения (управления) на k-м шаге не должен оказывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.
Задача о выборе траектории, задача последовательного принятия решения, задача об использовании рабочей силы, задача управления запасами — классические задачи динамического программирования.
Вариационное исчисление — это раздел математики, в котором изучаются функционалы, т.е. функции аргументами которых являются другие функции. Самая типичная задача в.и. состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения.
Вариационное исчисление — это раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами)
Всю историю своего существования мыслящий человек занимается оптимизацией, то есть находит минимальное или максимальное значение какой-то величины (площади земельного участка, прибыли, денежных затрат, пути).
Наряду с задачами, в которых требуется определить максимальное или минимальное значение некоторой функции y = f (x), в математике при моделировании разнообразных проблем приходится определять максимальное и минимальное значения более сложных математических объектов, называемых функционалами.
Функционалом является длина плоской кривой, соединяющей две заданные точки на плоскости.
Вариационное исчисление разрабатывает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов.
Вариационное исчисление начало развиваться с конца XVII века и сформировалось в самостоятельную математическую дисциплину после основополагающих работ действительного члена Петербургской академии наук Л. Эйлера (1707-1783), которого с полным основанием можно считать отцом вариационного исчисления.
Эйлер (Euler) Леонард (1707-83), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в 1731-41 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-66 иностранный почетный член). В 1741-66 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.
Функционалы6 – это более сложные математические объекты, чем функции.
Функционалом называется отображение некоторого множества функций X во множество действительных чисел R. Каждой функции f (x) из X ставится в соответствие число õ(f) по некоторому правилу, например
,
где f (x) – непрерывная функция, определенная на отрезке [0, 1].
Во всех задачах, исследуемые функционалы представимы в виде определенного интеграла.
,
где F (x, y, y') – заданная функция, зависящая от функции y(x) и ее первой производной y'(x).
При анализе экстремума функции необходимо рассматривать понятие расстояния между числами. Расстояние между двумя числами x1 и x2 на числовой прямой – это абсолютная величина их разности
r(x1 , x2) = | x1 – x2 |.
Для функций можно ввести в рассмотрение понятие расстояния для того, чтобы оценивать, насколько близки или далеки друг от друга рассматриваемые функции. Понятие близости функции зависит от того, каким образом вводится понятие расстояния или, как говорят математики, как вводится метрика.
При исследовании функционалов, как и при исследовании функций, наиболее важную роль играют простейшие функционалы – линейные и квадратичные.
При исследовании функций на экстремум важное значение имеет исследование ее первой и второй производных. При исследовании функционала вводятся аналогичные понятия. Понятию производной функции соответствует понятие вариации7 функционала.
В настоящее время вариационные методы являются одним из мощных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкций, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы снижения веса конструкции без ущерба для ее прочности.
Вариационные постановки задач стимулировали развитие численных методов исследования задач математической физики, среди которых одно из главных мест занимает метод конечных элементов, превратившийся с появлением мощных компьютеров в основной инструмент исследования и проектирования конструкций.
Вариационные постановки задач позволяют строить упрощенные модели в гидромеханике, теории упругости, физике.
К вариационным задачам тесно примыкают задачи оптимального управления, которые интенсивно используют в последние 30-40 лет. Задачи оптимального управления – это задачи более общего вида, чем вариационные. Наибольшего успеха в их решении добились советские ученые, кульминацией явилась формулировка принципа максимума Понтрягина. Принцип максимума позволил решить многие проблемы оптимизации форм конструкций на основе вариационных подходов.