Математическая логика.

Логика (от греч. logos – слово, понятие, рассуждение, разум) – наука и законах и формах рационального мышления, методах формализации содержательных теорий.

Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих суждениях, уметь вскрывать логические ошибки.

Формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки предметов.

Суждение (высказывание, утверждение) – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Характеризуется содержанием и формой.

Умозаключение – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение – умозаключение.

Основной принцип формальной логики: правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.

Высказывания.

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывание будем прописными буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А=1» и говорить «А истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А=0» и говорить «А ложно».

Высказывание могут быть выражены не только с помощью естественных языков, но и на формальных, например:

• с помощью языка математических символов;

• с помощью физических формул.

Например:

1. Солнце светит для всех – истинное высказывание, т.е. А=1.

2. Все ученики любят информатику – ложное, А=0.

3. А ты любишь информатику? – не высказывание, т.к. не является повествовательным предложением.

4. Посмотри в окно – не высказывание, т.к. является побудительным предложением.

5. (х*х<0)=0 – ложное высказывание, т.к. какое бы х мы ни взяли, произведение х*х будет неотрицательным.

6. 2*х-5>0 – не высказывание, т.к. для одних значений х это выражение будет истинным и в то же время для других значений х – ложным.

7. Крокодилы летают очень низко – высказывание.

Задание 1.

Определите, какие из нижеприведенных фраз являются высказываниями с точки зрения алгебры логики. Определите значение высказывания (истина или ложь).

1. Число 8456 является совершенным.

2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

3. Как хорошо быть генералом!

4. Революция может быть мирной и немирной.

5. Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.

6. Познай самого себя.

7. Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами.

8. Талант всегда пробьет себе дорогу.

9. Некоторые животные мыслят.

10. Информатика в частности, изучает алгоритмы.

11. Всякая истина является конкретной.

12. Это утверждение ложно.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний.

Примеры.

1. Идет дождь.

2. Нам живется весело.

Используя специальные слова, подразумевающие определенные логические связи между высказываниями (связки), можно из простых высказываний получить сложное высказывание.

Определение сложного высказывания.

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое высказывание называется сложным.

Пример.

Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.

1. Вчера было пасмурно.

2. Сегодня ярко светит солнце.

Основные логические связки в сложных высказываниях.

Логические связки	Название логических связок	Примеры высказываний
… и … … а … … но …	Конъюнкция (логическое умножение)	Налетел ветер, и пошел дождь.
… или … либо …, либо … или …, или … либо только …, либо только … только … или только …	Дизъюнкция (логическое сложение)	За отличную учебу в школе я получу золотую или серебряную медаль. Я поеду только в дом отдыхи или только на турбазу.
не неверно, что…	Инверсия (логическое отрицание)	Мы не умеем читать. Неверно, что Земля – спутник Венеры.

Задание 2.

Укажите связующие слова или союзы и наименование связок в приведенных ниже высказываниях.

Высказывание	Связка
Либо он позвонит, либо пришлет сообщение по электронной почте.
Неверно, что январь – летний месяц.
Мне должны подарить либо лыжи, либо самокат.
На следующей неделе она зайдет ко мне домой и на работу к бабушке.
Некоторые дети не любят конфеты.

Задание 3.

Из приведенных простых высказываний составьте и запишите несколько сложных высказываний для каждой логической связки (2-3 для каждой логической связки).

1. Поедем на дачу.

2. Хорошая погода.

3. По прогнозам синоптиков предполагаются осадки в виде дождя и снега.

4. Сильный ветер.

5. Отсутствие ветра.

6. Плохая погода.

7. Мы поедем на пляж.

8. Антон приглашает нас в театр.

9. Антон приглашает нас в цирк.

10. После школы я буду учиться в институте.

11. После школы я буду работать в Интернет - центре.