Параметры стохастических сетей

1. Число систем массового обслуживания n

2. Число каналов обслуживания в каждой СМО k_i , i = 1..n

3. Матрица вероятностей (вероятностей перехода из одной системы обслуживания в другую) передач.

P_ij – вероятность того, что после обслуживания в СМО S_i заявка перейдет в СМО S_j.

P_ij + P_ik = 1

P = ||P_ij|| - стохастическая матрица, по строкам сумма элементов равна 1.

Матрица квадратная.

S ₀ – бесконечный источник заявок (в нем всегда есть заявки)

4. Число заявок, циркулирующих в сети (для замкнутой сети) m

Или интенсивность источника (для разомкнутой сети) ₀

5. Среднее время обслуживания заявок в СМО сети ₁, ₂, …, _n

Определение интенсивностей потоков и коэффициентов передачи

S₁, S₂, S₃, S₄ - СМО

Данную СеМО желательно свести к виду:

Рассмотрим три СМО: S_j, S_j+1 S_i

Задана матрица переходных вероятностей.

_вх = _вых

Составляем систему уравнений:

Система уравнений может быть записана в каноническом виде:

(*)

Решив (*) найдем  либо соотношение _i и ₀

Для замкнутых СеМО _i = α_0j₀

α_0j = _i/₀ – коэффициент передачи

Для разомкнутых СеМО α_j = _i/₀

В сети с обратными связями показывает, сколько раз в процессе решения задач она проходит через СМО S_j 0 < α_j < ∞

В сети без обратных связей α_j показывает долю потока, который проходит через СМО

S_j 0 < α_j < 1

Пример. Для разомкнутой сепи

Пусть ₀ = 5 с^-1

P₁₀ = 0.1

P₁₂ = 0.4

P₁₃ = 0.5

Запишем систему уравнений

Уравнение локального баланса:

_ВХ = _ВЫХ

₀ = P₁₀₁

₁ = ₀ + ₂ + ₃

₂ = ₁P₁₂

₂ = ₁P₁₃

5 = 0.1₁ ₁ = 50

50 = 5 + ₂ + ₃ ₃ = 24

₂ = 0.4 0.5 = 20 ₂ = 20

Коэффициенты α_j :

α₁ = 50/5 = 10

α₂ = 20/5 = 4

α₃ = 25/5 = 5

Время ответа = Время ответа 1 α₁ + Время ответа 2 α₂ + …….

Для замкнутой сепи

P

P₁₀

₁₀ = 0.1

P₁₂ = 0.4

P₁₃ = 0.5

P₂₁ = 0.2

P₂₃ = 0.8

λ₁ = 10λ₀ → α₁ = 10

λ₂ = 4λ₀ → α₂ = 4

λ₃ = 8.2λ₀ → α₃ = 8.2

Контрольные вопросы к лекции 15

1. По каким признакам классифицируются сети массового обслуживания?

2. Какие реальные системы могут быть промоделированы с использованием замкнутых сетей массвого обслуживания?

3. Что такое коэффициент передачи и какой физический смысл он имеет?

4. В каком диапазоне значений может изменяться коэффициент передачи в разомкнутых сетях с обратными связями?

5. Покажите как вычисляются интенсивности потоков для разомкнутых сетей.

Лекция 16

Характеристики разомкнутых стохастических сетей массового обслуживания Декомпозиция СеМо на отдельные смо:

1. Проверка условия существования стационарного режима с СМО и в сети в целом.

Для одноканальных СМО:

ρ = λ/μ = λυ < 1

Для многоканальных СМО:

ρ = k_i/K

k_i – среднее число занятых каналов в СМО

K – общее число каналов в СМО:

ρ = k_i/K_i = λ_iυ_i/K_i < 1

Для всех СМО от S₀ до S_n должно соблюдаться это условие.

λ_iυ_i/K_i < 1

λ_i = λ₀α_iυ_i/K_i < 1

λ₀ < K_i/α_iυ_i

λ₀ < K₀/α_iυ_i

Условие стационарности для разомкнутой сети

Состояния сети и вероятности состояний

Состояние сети связывается с числом заявок в отдельных СМО.

Т.е. можно сказать, что сеть характеризуется состояниями M(M₁,M₂,…,M_n):

Вероятность P(M₁,M₂,…,M_n) т.е. вероятность, что в СМО

вычисляется по формуле Джексона:

,

где

Характеристики систем в сети

1. Среднее число заявок в очереди в СМО S_j

2. Среднее число заявок в очереди в СМО (очередь + обслуживание)

3. Среднее время ожидания в очереди. По формуле Литтла:

4. Среднее время пребывания в СМО. По формуле Литтла:

Характеристики сети

Среднее число заявок

а) в очередях

б) в сети

Среднее время

а) в очередях

б) в сети (время ответа)

Характеристики замкнутых стохастических сетей массового обслуживания

Исходные данные такие же, как и для разомкнутой цепи, но вместо интенсивности входного потока используется число m заявок, циркулирующих в сети

П ример: Система S₁, S₂, S₃

m = 4

Варианты размещения заявок:

4 0 0 3 1 0 3 0 1 2 2 0 2 0 1 …….