Вывод формулы Литтла

В теории массового обслуживания существует одна весьма простая, но очень важна формула, которая связывает три величины: интенсивность входного потока, время ожидания (или пребывания) и количество заявок в очереди (в системе). Рассмотрим, как можно вывести эту формулу.

Рассмотрим любую СМО, в ней всегда существуют два потока заявок:

• приходящие заявки

• уходящие заявки

x(t)- число заявок пришедших в СМО за время t.

y(t)- число заявок ушедших за время t.

z(t)=x(t)-y(t) – число заявок находящихся в СМО.

Рассмотрим большой промежуток времени Т и вычислим среднее число заявок, находящихся в СМО:

основание прямоугольника - время пребывания заявки в системе (t1,t2…tn).

разделим левую и правую части на Т и умножим на :

где w- среднее время пребывания заявок в системе.

для очереди: .

Контрольные вопросы к лекции 9

1. На каких принципах возможно классифицировать СМО?

2. Скажите, что означает запись M/M/5 ?

3. Что мы получим, решив систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний?

4. При каких условиях существуют финальные вероятности?

5. В каком случае дифференциальные уравнения Колмогорова преобразуются в систему алгебраических уравнений? Объясните физический смысл этого превращения.

6. Какие величины связывает формула Литтла и для каких законов распределения она справедлива?

Лекция 10

Многоканальная смо с отказами (задача Эрланга)

Начнем рассмотрение с одной из простейших задач, которая возникла в начале 20 века при изучении работы телефонных станций. Изучалась эффективность работы телефонной станции, имеющей n каналов обслуживания (барышень, сидящих на коммутаторе). Все входящие потоки вызовов полагались простейшими. Интенсивность входного потока полагалась равной - Интенсивность обслуживания - .

Таким образом, СМО с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают.

Найти:

- финальные вероятности

A- абсолютную пропускную способность

Q- относительную пропускную способность

- вероятность отказа

- среднее число занятых каналов

если все n каналов заняты, то заявка получает отказ.

1. Введём множество состояний:

S0- все каналы пусты

S1- один канал занят

S2- два канала заняты

Sn- n каналов заняты.

2. Составим граф состояний:

Обратите внимание на «разметку» нижних стрелок графа. Коэффициенты при интенсивности обслуживания возрастают с увеличением номера состояния. Это связано с тем, что если работают два канала, то обслужить свою заявку может каждый из них и суммарная интенсивность перехода в предыдущее состояние, где работает только один канал (любой из этих двух), равна , если работают три канала, то, соответственно, - и т.д.

эти формулы называются формулами ЭРЛАНГА.

Q – относительная пропускная способность показывает вероятность того, что заявка будет обслужена.

,

где А - абсолютная пропускная способность есть поток на выходе системы в абсолютных величинах за единицу времени.

Пример. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 ч^-1. Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.

Имеем: m=3, =0,25 ч^-1, =3 ч. Находим:

,

,

,

.

Таким образом, ЭВМ.