Ячейки Вороного

Ячейки Вороного строятся только для внутренних точек множества (т.е. для точек не лежащих на оболочке множества). Значит нужно выделить такие точки и построить вокруг каждой ячейку Вороного. Затем полученные ячейки объединяются в единую структуру.

Опишем построение отдельной ячейки Вороного:

I этап: поиск вершин ячейки Вороного

Вход:

По аналогии с двумерным случаем, вершинами ячейки являются центры описанных вокруг тетраэдров Делоне сфер. Для расчёта этих центров берутся тетраэдры, содержащие точку, вокруг которой строится ячейка (далее: точка p).

1. Создадим очередь B, элементами которой будут указатели на грани тетраэдров.

2. Возьмём какой-либо тетраэдр, содержащий точку p. Вычислив центр описанной сферы, занесём его в массив вершин ячейки. Добавим к B три грани этого тетраэдра, содержащие p. Пометим тетраэдр.

3. Берём элемент с верхушки очереди: b=first(B).

4. Если грань b принадлежит не помеченному тетраэдру, то переходим по грани b к следующему тетраэдру.

5. Вычислив центр описанной вокруг него сферы, занесём его в массив вершин ячейки. Добавим к B две грани (три грани содержат точку, а та из них, по которой перешли к данному тетраэдру, уже обработана) этого тетраэдра, содержащие p. Пометим тетраэдр.

6. Если очередь B не пуста, то перейти к (3).

Получим массив вершин ячейки. Т.о. задача сводится к построению выпуклой оболочки множества точек. Алгоритм использует метод «заворачивания подарка», который заключается в последовательном обходе точек множества, лежащих на его границе.

1. Пусть одна грань оболочки (грань f₀) уже известна.

2. Создадим очередь Q, содержащую ребра оболочки.

3. Занесём в Q грани f₀.

4. Берём элемент с верхушки очереди: q=first(Q).

5. f – грань, к которой принадлежит q.

6. Найдём точку p из множества, такую, что плоскость, проходящая через q и эту точку, образует с f максимальный угол < .

7. Построим новую грань на q и p. Занесём её рёбра в Q, кроме q, и тех, которые не смыкаются с другими гранями.

8. Если очередь Q не пуста, то перейти к (4).

Получим выпуклую оболочку, которая и будет являться ячейкой Вороного.

10.6 Вопросы и упражнения

1. Дайте определение триангуляции Делоне.

2. Сформулируйте задачу построения триангуляции в пространстве.

3. Привести пример неоднозначной триангуляции Делоне.

4. Дайте определение диаграммы Вороного.

5. Для каких центров из конечной системы точек, для которой строится диаграмма Вороного, их ячейка Вороного бесконечна.

6. В чем состоит дуальность разбиений Делоне и Вороного?

7. Адаптировать алгоритм построения триангуляции Делоне методом вкатывания «пустого» шара в пространстве к подобной задаче на плоскости.

8. Сколько минимально ячеек в диаграмме Вороного на плоскости и в пространстве может сходиться в одной точке?

11. Алгоритмы построения выпуклой оболочки и триангуляции

11.1. Алгоритм построения выпуклой оболочки с использованием метода сортировки

Задано множество точек S(p₁,…,p_N), для которого произведена лексикографическая сортировка по x и y. Т.е. .

если:

• Либо Y1 < Y2

• Либо Y₁ = Y₂ и X₁ < X₂

• Точки, Y-координаты которых совпадают, называются уровнями.

Будем считать, что точки расположены так, как показано на рис. 11.1:

Рис. 11.1.

Примечание: Pmin_x – множество точек из множества S таких, что координата Х – минимальна Pmin_y – множество точек из множества S таких, что координата Y – минимальна Pmax_x – множество точек из множества S таких, что координата Х – максимальна Pmax_y – множество точек из множества S таких, что координата Y – максимальна Множество точек Pmin_y находятся на M-уровне Множество точек Pmax_y находятся на 0-уровне

Разобьем множество точек на квадранты.

Построим выпуклую оболочку для I- квадранта. (Для остальных квадрантов оболочка строится аналогично).

Шаг 1: из множества точек {P_{min_y}} выбираем ту, координата Х которой максимальна. Обозначим ее p_i(X₁,Y₁)

Шаг 2: из множества точек {P_{max_x}} выбираем ту, координата Y которой минимальна. Обозначим ее p_j(X₂,Y₂)

Шаг 3: Среди точек множества S, ищем точку p(X₁,Y) (на уровне M-1 или выше), такую что для любого X₁ больше X. Обозначим ее как p_r

Рис. 11.2.

Так как точки отсортированы в лексикографическом порядке, то возможен бинарный поиск (дихотомия). Т. е. сложность алгоритма ~ , где N – количество точек на уровне.

Шаг 4: Заносим точки p_i, p_r и p_j в соответствующие структуры и переобозначим p_{i =} p_r.

Шаг 5: Повторяем шаг 3-4 до тех пор пока p_i не совпадет с p_j.

Шаг 6: Если в построенной нами выпуклой оболочки встречаются вогнутые сегменты то соединяем крайние точки таких сегментов (Рис. 11.3).

Рис. 11.3. Преобразование выпуклой оболочки.