9.2 Основные геометрические объекты

Обозначим через n-мерное евклидово пространство, т. е. пространство векторов (x₁,…,x_n),

состоящих из действительных чисел x_i, i = 1,…,n, с расстоянием .

Определим теперь важнейшие объекты, рассматриваемые вычислительной геометрией.

Точка. Точке р в пространстве Eⁿ соответствует набор координат (x₁,…,x_n). Эту точку можно интерпретировать также и как n-компонентный вектор, исходящий из начала координат в Eⁿ, свободным концом которого является точка р.

Прямая, плоскость, линейное многообразие. Пусть даны две разные точки q₁ и q₂, принадлежащие Eⁿ тогда линейная комбинация

называется прямой в Eⁿ.

В общем случае для заданных k линейно независимых точек q₁,...,q_k, принадлежащих E^d (k d), линейная комбинация

называется линейным многообразием размерности (k — 1) в En.

Отрезок. Пусть даны две разные точки q₁ и q₂, принадлежащие Eⁿ, тогда линейная комбинация при условии определит выпуклую комбинацию для q₁ и q₂ т.е. прямолинейный отрезок, соединяющей две точки: q₁ и q₂. Обычно этот отрезок обозначают как (неупорядоченная пара).

Выпуклое многообразие. Область D, принадлежащая пространству Eⁿ, называется выпуклой, если для любой пары точек q₁ и q₂ из D отрезок целиком принадлежит D.

Можно доказать, что пересечением выпуклых областей яв­ляется выпуклая область.

Доказательство:

Пусть A и B выпуклые множества. Пусть C = . Возьмем две произвольные точки q₁ и q₂ из множества С. Отрезок лежит в множестве A т.к. оно выпукло. Аналогично отрезок лежит в множестве B. Следовательно, лежит в их пересечении C. Таким образом множество С содержит вместе с двумя своими точками отрезок их соединяющий, значит оно выпукло.

Выпуклая оболочка. Выпуклой оболочкой множества точек S, принадлежащих пространству Eⁿ, называется граница наименьшей выпуклой области в Eⁿ, которая охватывает S.

Многоугольник. Многоугольником в пространстве Е² назы­вается конечное множество отрезков, в котором каждый конец отрезка принадлежит ровно двум отрезкам и никакое подмно­жество этих отрезков не обладает указанным свойством. Эти отрезки называются сторонами (иногда ребрами), а их концы — вершинами многоугольника. (Заметим, что число сторон и число вершин совпадают.) Многоугольник с N вершинами называется N-угольником.

Многоугольник называется простым, если никакая пара не­последовательных его ребер не имеет общих точек. Простой многоугольник разбивает плоскость на две непересекающиеся области — внутреннюю (конечную) и внешнюю (бесконечную), разделенные этим многоугольником (теорема Жордана). (Замечание: в обиходе термин «многоугольник» часто употребляется для обозначения объединения границы и внутренней области.)

Простой многоугольник Р называется выпуклым, если его внутренняя область является выпуклым множеством.

Простой многоугольник Р называется звездным, если существует точка z, не внешняя для Р, такая, что для всех точек р, принадлежащих Р, отрезок полностью лежит внутри Р. (Итак, любой выпуклый многоугольник звездный.) Множество точек z, обладающих указанным выше свойством, на­зывается ядром Р. (Очевидно, выпуклый многоугольник совпадает со своим ядром.)

Планарный граф. Граф G = (V, Е) (где V — множество вершин, Е — множество ребер) называется планарным, если его можно уложить на плоскости без самопересечений (см. разд. 1.2.3.2). Прямолинейная укладка ребер планарного графа определяет разбиение плоскости, называемое планарным подразбиением или картой. Пусть v — число вершин, е — число ребер и f — число граней (включая единственную бесконечную грань) такого подразбиения. Эти три параметра связаны клас­сической формулой Эйлера:

v - e + f = 2.

Триангуляция. Планарное подразбиение называется триан­гуляцией, если все его конечные грани являются треугольниками. Триангуляцией конечного множества точек S называется плоский граф S, имеющий наибольшее возможное число ребер (другими словами, триангуляция S получена путем соединения точек из S непересекающимися прямолинейными отрезками так, что любая грань, лежащая внутри выпуклой оболочки S, является треугольником).

Полиэдр (многогранник). Полиэдром в пространстве E³ называется такое конечное множество плоских многоугольников, когда каждая сторона любого многоугольника принадлежит еще ровно одному из остальных многоугольников (смежным многоугольникам) и никакое из подмножеств этого множества многоугольников не обладает указанным свойством. Вершины и стороны этих много­угольников являются вершинами и ребрами данного полиэдра; сами многоугольники называются гранями полиэдра.

Полиэдр называется простым, если никакая пара несмеж­ных его граней не имеет общих точек. Простой полиэдр разбивает пространство на две непересекающиеся области — внутреннюю (конечную) и внешнюю (бесконечную). (И опять, в обиходе термин «полиэдр» часто используется для обозначения объединения границы и внутренней области.)

Простой полиэдр называется выпуклым, если его внутренняя область является выпуклым множеством.