5.3. Специальные картографические проекции. Экзотические проекции земной сферы

С развитием торговли и путешествий приобрела большую важность довольно непростая геометрическая задача: как перенести на плоскость часть земной поверхности, чтобы расстояния между любыми двумя точками на ней остались неискаженными? Различные ученые в течение многих веков пытались разрешить эту проблему по заказам своих правительств, крупных коммерсантов или просто путешественников, для которых такая карта была бы настоящей находкой, так как существенно облегчила бы навигацию, как морскую, так и воздушную.

В целом эта задача оказалась неразрешимой. Поверхность цилиндра или конуса можно без искажений перенести на плоскость (такие поверхности называются развертывающимися), отобразить же на плоскость поверхность сферы, сохранив расстояние между любыми двумя точками, невозможно. Дело в том, что даже малую область сферической поверхности (в отличие от цилиндра или конуса) невозможно развернуть на плоскости без трещин, складок или искажений. Любая плоская карта Земли или какой-то ее части непременно будет искажать какие-либо свойства. Поэтому даже в настоящее время так необходимы карты с минимальными (еще лучше нулевыми) искажениями тех свойств, для передачи которых предназначается карта. Желательно, чтобы и другие свойства деформировались как можно меньше. Всего существует четыре основных типа искажений:

• искажение длин (линии, одинаковые на поверхности Земли, изображаются на карте отрезками разной длины);

• искажение углов (углы на карте между взятыми направлениями не равны горизонтальным углам между теми же направлениями на поверхности земного эллипсоида);

• искажение форм (форма участка или занятой объектом территории на карте отлична от их формы на поверхности Земли);

• искажение площадей (связано с масштабом площади: при постоянстве величины масштаба площади по всей поверхности карты искажения площадей на ней нет).

Помимо классических карт, большая часть которых была разработана в средние века, фантазия ученых предоставляла навигаторам весьма необычные способы проекции земной поверхности, но прежде чем описать способы составления необычных карт, рассмотрим некоторые классические методы картографии.

Центр проекции может быть произвольным по отношению к проецируемой сфере, таким образом, существует бесконечное множество всевозможных различных проекций. Если проводить лучи из некоторой точки, взятой на прямой, проходящей через центр шара перпендикулярно некоторой плоскости, то получим на этой плоскости перспективную проекцию. Рассмотрим некоторые из этих проекций, наиболее полезные с точки зрения картографии.

Стереографическая проекция

Важное свойство любой карты — сохранение углов (угол между любыми двумя линиями на карте должен быть таким же, как угол между прообразами этих линий на земной поверхности). Сохранение углов особенно важно для мореплавания и аэронавтики, так как оно означает, что наблюдаемый угол между любыми двумя ориентирами равен углу, измеряемому на карте с помощью транспортира. Кроме того, на такой карте остаются неизменными и площади малых областей. Карты, сохраняющие углы, называются конформными. Проще всего построить конформную карту с помощью стереографической проекции.

На рис. 5.8 показано, как поверхность сферы в точке Х проецируется из точки А (принадлежащей сфере) на плоскость, касательную к сфере в диаметрально противоположной точке (антипод точки А). Проекция называется экваториальной, полярной или косой в зависимости от того, где находятся антиподы: на экваторе, полюсах или в какой-нибудь другой точке земной поверхности соответственно. К сожалению, конформность вызывает искажение масштаба, возрастающее с увеличением расстояния от центра карты.

Рис. 5.8. Три проекции

Обозначим за долготу и дополнение до широты точки на сфере буквами и соответственно, , , а через x и y — координаты проекций этой точки в некоторой декартовой системе координат, заданной на плоскости проекции. Соответствующие формулы проецирования для Северного полушария имеют следующий вид:

Здесь и в дальнейшем радиус считается равным единице. Ось X направлена вдоль меридиана 135°.