2.3. Аналитическое представление кривых и поверхностей

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Кривая на плоскости — это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению

, (2.8)

где — функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению

удовлетворяет только одна точка .

Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр) :

, (2.9)

где и — непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция такова, что можно выразить через ( ), то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):

.

Систему уравнений (2.9) можно записать в векторном виде:

.

Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид

или

.

Окружность радиуса с центром в точке может быть представлена параметрическими уравнениями

.

Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.

Поверхность в пространстве — это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению вида

. (2.10)

Так же, как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):

. (2.11)

Например, сфера радиуса с центром в точке может быть задана уравнением

либо же параметрическими уравнениями

.

Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т. е. с помощью системы уравнений

(2.12)

или параметрическими уравнениями вида

. (2.13)

2.4. Пересечение луча с плоскостью и сферой

Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т. е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть — направляющий вектор прямой, а — начальная точка. Тогда координаты точек, принадлежащих лучу, будут определяться формулами

, . (2.14).

Будем считать, что направляющий вектор единичный, т. е. .

Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением

. (2.15).

Вектор нормали тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (2.14) в уравнение (2.15) и получим

,

откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением

,

если эта величина положительна. Очевидно, что такая точка существует только при условии . В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторы и ортогональны друг другу.

Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке и радиусом d. Тогда уравнение сферы будет иметь вид

.

Подставив сюда координаты луча из уравнения (3.9), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению

,

где , , . Определим корни этого уравнения. Если дискриминант , то корни существуют. Их может быть либо два (D>0), либо один (D=0). В первом случае имеем две точки пересечения, во втором одну (луч касается сферы). Соответствующие значения параметра определяются соотношением

,

причем учитывается только положительное значение.