1.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

= = .

Критерий Пирсона определяет меру расхождения между выборочными данными и теоретическими , определяемыми в соответствии с высказанной гипотезой о распределении случайной величины Х. Если экспериментальные вероятности p_i совпадут с теоретическими , то значение равно нулю. Чем ближе значение к нулю, тем с большей вероятностью можно будет принять гипотезу о предполагаемом распределении.

Статистика имеет распределение с ν = k - r -1 степенями свободы, где число k - число интервалов вариационного ряда, r - число параметров теоретического распределения. Число параметров нормального распределения равно двум (а=М(Х), = D(X) ), следовательно число степеней свободы равно ν = k - 3.

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие условия:

n >50 , > 5 , где i= 1,2,…,.k.

Из результатов вычислений, приведенных в табл. 1.5.2 следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, так как в некоторых группах < 5 . Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп; при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы не будет выполняться условие:

> 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы ν = k - 3 , где в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот приведены соответственно в табл. 1.6.1. Результаты вычислений из табл. 1.6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Таблица 1.6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[xi-1;xi)			ni
[-1,7;-0,3)	0,0918	5,508	6	0,242064	0,04395
[-0,3;0,4)	0,1969	11,814	10	3,290596	0,27853
[0,4;1,1)	0,2941	17,646	20	5,541316	0,31403
[1,1;1,8)	0,2518	15,108	14	1,227664	0,08126
[1,8;3,2)	0,1573	9,438	10	0,315844	0,03347
	Σ = 0,9919	Σ =59,514	Σni =60		0,75124

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X выполняется в следующей последовательности:

1. Задаются уровнем значимости α = 0,05 или одним из следующих значений: α₁ = 0,01; α₂ = 0,1; α₃ = 0,005.

2. Вычисляют наблюдаемое значение критерия

=

используя экспериментальные и теоретические частоты из табл. 1.6.1.

З. Для выбранного уровня значимости α = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы ν = k - 3, где k - число групп экспериментального распределения.

4. Сравнивают фактически наблюдаемое значение с критическим значением _{; ,} найденным по табл. 1.3.2, и принимают решение:

а) Если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, так как эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно.

б) Если > , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

При выбранном уровне значимости α = 0,05 и числе групп k = 5 число степеней свободы ν = 2 , по табл. 1.3.2 для α = 0,05 и ν = 2 находим

=7,37776.

В результате получим:

Для = 0,75124 , которое нашли по результатам вычислений, приведенных в табл. 1.6.1, имеем:

= 0,75124< = 7,37776 .

Следовательно, выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдения при заданном уровне значимости, и нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины.