1. 4. Ранжирование выборочных данных, вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины X, представленные в табл.1.4.1

Таблица 1.4.1

Ранжированный ряд

1	-1,3646	11	-0,0290	21	0,5983	31	0,9868	41		1,2608	51		1,9901
2	-0,6640	12	-0,0211	22	0,6528	32	0,9887	42		1,2617	52		2,0641
3	-0,6636	13	0,0586	23	0,7238	33	0,9950	43		1,2809	53		2,0727
4	-0,5175	14	0,1924	24	0,7253	34	0,9992	44		1,3165	54		2,2134
5	-0,4095	15	0,2879	25	0,7360	35	1,0097	45		1,3255	55		2,2698
6	-0,3335	16	0,2964	26	0,7424	36	1,0714	46		1,3966	56		2,2765
7	-0,2705	17	0,4197	27	0,7506	37	1,1034	47		1,4855	57		2,2781
8	-0,2566	18	0,4522	28	0,7546	38	1,1737	48		1,4998	58		2,7701
9	-0,1746	19	0,4588	29	0,8669	39	1,2189	49		1,6204	59		2,8634
10	-0,1190	20	0,4774	30	0,8839	40	1,2431	50	1,6804			60	3,1363

Интервал [-1,3646; 3,1363], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

h = (X_max - X_min)/(1+3,322*lg(n) = 4,5009/6,91 = 0,65

Для удобства и простоты расчётов следует округлять величину h. В нашем случае выбираем h =0,7 и вычисляем границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение

x₀ = X_min – h/2 = -1,3646 – 0,7/2 = -1,3646 - 0,35 = -1,7146,

которое округляется до x₀ = -1,7. Далее вычисляем границы интервалов.

x₁ =x₀ +h=-1,7 + 0,7 = -1,0

x₂=x₁ + h = -1,0+0,7=-0,3 x₃=x₂ + h =-0,3+0,7=0,4 x₄=x₃ + h = 0,4+0,7=1,1 x₅=x₄+ h = 1,1+0,7=1,8 x₆=x₅+ h =1,8+0,7=2,5 x₇=x₆+ h= 2,5+0,7=3,2

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство

x_n > X_max , то есть x₇ =3,2 > X_max = 3,1363 .

После определения частичных интервалов, определяют экспериментальные частоты n_i равные числу членов вариационного ряда попадающих в этот интервал:

x_i-1≤ x_(s) < x_i ,

где x_i-1, x_i - границы i-го интервала,

x_(s) - значения вариационного ряда.

Набор частот n₁,n₂,…,n_k должен удовлетворять равенству:

n₁ + n₂ + …+ n_k = = n

Относительной частотой W_i называют долю наблюдений попадающих в рассматриваемый интервал:

W_i =

Плотность распределения относительных частот определяют как отношение относительных частот к величине интервала:

( )= W_i /h = n_i/(nh) ,

где =(x_i-1 + x_i)/2 является серединой интервала [x_i-1;x_i) .

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны эмпирической плотности распределения:

= ( ) = n_i/(nh) ,

где i=1,2,…,k .

Площадь i-го прямоугольника равна отношению количества случайных величин, попавших в i-ый интервал, к их общему количеству:

S_i = h = h n_i/(nh) =

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме площадей прямоугольников :

S = = = 1

Таким образом, функция ( ) является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины Х , реализации которой получают при статистическом наблюдении.

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках ( =(x_i-1 + x_i)/2 ; = n_i/(nh) ) .

По результатам вычислений составляем табл.1.4.2: значения выборочной функции плотности. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы, во второй строке — середины интервалов, в третьей строке записаны частоты - количество элементов выборки, попавших в каждый частичный интервал, в четвертой строке записаны относительные

частоты, в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

Таблица 1.4.2

Значения выборочной функции плотности

[xi-1;xi)	[-1,7; -1,0)	[-1,0; -0,3)	[-0,3;0,4)	[0,4;1,1)	[1,1;1,8)	[1,8;2,5)	[2,5;3,2)
= (xi-1 + xi)/2	-1,35	-0,65	0,05	0,75	1,45	2,15	2,85
ni	1	5	10	20	14	7	3
Wi= ni/n	0,01667	0,08333	0,16667	0,33333	0,23333	0,11667	0,05
( )= ni/(nh)	0,02381	0,11905	0,23810	0,47619	0,33333	0,16667	0,07143

По результатам вычислений функции плотности, представленной в табл. 1.4.2 можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х=0,75 с частотой n_i=20.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд для которого n=2k=60 и k=30

Me = (x_(k) + x_(k+1) ) = (x₍₃₀₎ + x₍₃₁₎ ) = (0,8839 + 0,9868) = 0,9354

Сравнение оценок медианы Ме = 0,9354 и оценки математического ожидания =0,9018 показывает, что они отличаются на 3,73 процента.