Свойства Арифметические свойства
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
Свойства сохранения порядка
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
Другие свойства
Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Имеет место теорема Штольца.
Если у последовательности
существует
предел, то последовательность средних
арифметических
имеет
тот же предел (следствие из теоремы
Штольца).
Если у последовательности чисел
существует
предел
,
и если задана функция
,
определенная для каждого
и
непрерывная в точке
,
то
Признаки существования предела
1.
Если
и
,
то
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
(критерий Коши).
36) Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность { хn} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | xn | > A:
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | xn| > A выполняется не для всех элементов xn с нечетными номерами. Определение. Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |αn| < ε:
