34) Упорядоченные множества

     Определение 1. Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение a < b ("a предшествует b"), обладающее следующими свойствами: 1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b, a < b, b < a; 2) для любых трех элементов a, b и c из a < b, b < c следует a < c.

     Пустое множество считается упорядоченным.

     Замечание. Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись a = b просто означает, что буквами a и b обозначен один и тот же элемент множества M. Поэтому из свойства 1) следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a < b или b < a.

     Если a предшествует b, то говорят, что b следует за a и пишут: b > a.

     Отношение a > b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение a < b.

     Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения < и >, т. е. вместо a < b писать a > b, и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M', порядок которого называется обратным относительно порядка M. Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок:

..., 3, 2, 1.

     Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества

               {1, 2, 3, ...},                    (1)

               {..., 3, 2, 1},                    (2)

               {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...},   (3)

               {1, 3, 5, ..., 6, 4, 2},        (4)

               {..., 5, 3, 1, 2, 4, 6, ...},   (5)

               {..., 5, 3, 1, ..., 6, 4, 2}.   (6)

Элемент, не имеющий предшествующего, называется первым, а элемент, не имеющий следующего, - последним. Элементы a и b называются соседними, если не существует c, для которого a < c < b или b < c < a. Если a и b - соседние и a < b, то говорят, что a непосредственно предшествует b, а b непосредственно следует за a. Упорядоченное множество (1) имеет первый элемен и не имеет последнего, множество (2), наоборот, имеет последний элемент, но не имеет первого, множество (4) имеет как первый элемент, так и последний, а множество (5) - ни первого элемента, ни последнего, множество (3) содержит два элемента, не имеющих непосредственно предшествующего, множество (6) - два элемента, не имеющих непосредственно следующего. Во всех этих множествах каждый элемент имеет соседний. Множество рациональных чисел, расположенных по возрастанию, не имеет соседних элементов, так как между любыми числами a и b лежит число .

     Если a = b или a < b, то пишут: ; если a = b или a > b, то пишут: . Из определения 1 легко вытекает справедливость следующих двух теорем:

     Теорема 1. Если и , то a = b.

     Теорема 2. Если и , то . Если и , то . При этом, если хотя бы в одном из данных неравенств имеется строгое неравенство, то и в полученном неравенстве будет строгое неравенство.

     Определение 2. Два упорядоченных множества A и B называются подобными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, т. е. такое, что из

и a₁ < a₂

следует b₁ < b₂.

     Из определения 2 следует, что все множества, содержащие лишь один элемент, подобны и пустое множество подобно лишь самому себе. О подобных множествах говорят, что они имеют один и тот же тип. Отношение подобия обозначается так: .

     Отношение подобия обладает следующими тремя свойствами:

     1) Рефлексивность:      2) Симметрия: если , то .      3) Транзитивность: если и , то .

Сравнивая определение подобия с определением равномощности, убеждаемся, что первое включает второе, т. е. верна следующая

     Теорема 3. Подобные множества равномощны; из следует A ~ B.

     Обратное утверждение не верно. Так, множества (1) и (2) равномощны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но не подобны, так как множество (1) имеет первый элемент, а множество (2) - не имеет, тогда как при соответствии подобия первому элементу одного множества должен соответствовать первый элемент другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная теореме 3, также верна. А именно:

     Теорема 4. Если конечные, упорядоченные множества равномощны, то они подобны.

     Эта теорема ввиду свойств 1) - 3) подобия является непосредственным следствием приведенной ниже теоремы 7. Для любых множеств в известной мере обратной теореме 3 является следующая теорема:

     Теорема 5. Любое множество A, равномощное упорядоченному множеству B, само можно упорядочить, т. е. определить для его элементов отношение порядка, обладающее свойствами 1) и 2), и притом так, что полученное упорядоченное множество подобно B.

     Доказательство. Если a₁ и a₂ - любые элементы множества A, b₁ и b₂ - соответствующие им, при взаимно однозначном отображении A и B, элементы B, и b₁ < b₂, то положим a₁ < a₂. Легко проверить, что определенное как отношение порядка в A обладает свойствами 1) и 2) и, очевидно, A подобно B.

     Теорема 6. Любое конечное упорядоченное множество A содержит первый и последний элемент (если только A не пусто).

     Доказательство. Пусть A не имеет последнего элемента. Берем любой элемент . Так как он не последний, то существует такой, что a₁ < a₂; так как a₂ - не последний, то существует такой, что a₂ < a₃. Если элемент a_n построен, то существует такой, что a_n < a_n+1. По индукции элемент a_n построен для любого n.

Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

- множество всех построенных элементов. Очевидно, что из i < k следует по свойству 2) a_i < a_k, откуда по свойству 1) . Значит, N' равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество A бесконечно (см. теорему 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично.

     Теорема 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов n > 0 подобны отрезку |1, n| натурального ряда и, значит, подобны между собой.

     Доказательство. Пустое множество упорядочено по определению. Если - конечное множество, то A ~ |1, n|. Отрезок |1, n|, очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество A можно упорядочить. Пусть теперь A - любое конечное упорядоченное множество с числом элементов n > 0. По теореме 6 множество A содержит первый элемент a₁. Если n > 1, то множество

и снова содержит первый элемент a₂, причем a₁ < a₂. Пусть уже построен элемент a_i. Если i < n, то

и по теореме 6 оно содержит первый элемент a_i+1, причем a_i < a_i+1. Так мы построим элементы a_i для всех . Множество

A_n = {a₁, a₂, ..., a_n} ~ |1, n| ~ A.

Множество A не равномощно собственному подмножеству (см. теорему 1). Значит,

A = A_n = {a₁, a₂, ..., a_n}.

Очевидно, что из i < k следует a_i < a_k, т. е. A подобно отрезку |1, n|.

     Из этой теоремы следует, что все n! возможных перестановок множества с n элементами имеют один и тот же тип.

35) предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.