37. Метод перевірки гетероскедастичності на основі тесту Голдфелда-Квондта

Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями

Основні визначення

Вид моделі.

в якій вектор збурень не задовольняє класичним властивостям збурень:

1. Mv i = 0

2. Гетероскедастичність збурень:

3. Незалежність збурень:

4. Незалежність збурень та регресорів:

5. Збурення v i нормально розподілені для всіх i.

Наслідки гетероскедастичності збурень на оцінки методу найменших квадратів:

1.Оцiнки МНК будуть незміщеними, але не будуть ефективними (не матимуть найменшої дисперсії).

2.Стандартнi оцінки коварiацiйної матриці оцінки МНК будуть зміщеними, i, як наслідок, процедури перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, основані на стандартних статистиках, будуть некоректними.

Критерії виявлення гетероскедастичності

Критерій Голдфелда-Квондта.

Нехай сукупність n спостережень упорядкована по мірі зростання однієї з незалежних змінних. Розіб'ємо її на дві групи об’ємами n1 і n2, виключивши приблизно чверть середніх значень. Побудуємо 2 р егресії по перших

По кожній з груп будують регресію і знаходять відношення:

Якщо вони менше 1, то групи міняють місцями. Це значення слід порівняти з теоретичним

F teor =F(n1 –k,n2 –k,1−α) .

Якщо F pr <F teor, то збурення гомоскедастичні, в протилежному випадку – гетероскедастичні.

38. Тест Глейзера….

39.Критерій Уайта

40. Зважений метод найменших квадратів бла бла бла…

41. Сутність автокореляції, її природа, причини виникнення і наслідки

Одним з основних припущень класичного лінійного регресійного аналізу є припущення щодо відсутності взаємозв’язку між значеннями стохастичної складової моделі ε в різних спостереженнях, тобто припущення

. (7.1)

Якщо це припущення порушується - виникає явище, яке носить назву автокореляції залишків.

Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.

У випадку автокореляції залишків маємо:

, (7.2)

і ,у випадку гетероскедастичності, формально можна записати :

, (7.3)

де - деяка невідома константа, S – відома квадратна, додатково визначена матриця розміреністю n×n.

Але на відміну від випадку гетероскедастичності матриця S не є діагональною, а є повною, діагональ якої містить одиниці, оскільки дисперсія випадкової величини ε в цьому випадку є сталою, а інші елементи, як було показано у попередній темі представляють собою ненульові коваріації значень випадкової величини ε в різних спостереженнях. Слід також зазначити ,що вигляд і „наповнення” матриці S залежать від виду залежності між залишками.

У загальному випадку залежність між значеннями стохастичної складової ε в різних спостереженнях для випадку автокореляції можна подати наступним чином

, (7.4)

де ρ₁, ρ₂, ... ,ρ_s – коефіцієнти автокореляції 1,2 і s-го порядку відповідно ;

u_i – випадкова величина, яка відповідає усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу – тобто вона розподілена за нормальним законом із сталою дисперсією і має нульове математичне сподівання.

Найпростішим і найбільш поширеним є випадок автокореляції залишків, коли залежність між послідовними значеннями стохастичної складової описують так званою авторегресійною схемою першого порядку – AR(1), яка має наступний вигляд :

. (7.5)

Якщо ρ додатне ( ρ>0 ), то автокореляція залишків є позитивною, якщо ρ від’ємне ( ρ<0 ), то автокореляція залишків є негативною. При ρ=0 автокореляція залишків відсутня.

Графічно випадки позитивної і негативної автокореляції залишків, а також її відсутності можна представити наступним чином (рис. 7.1):

Рис. 7.1 - Графічна ілюстрація автокореляції залишків

Коефіцієнт автокореляції ρ у виразі (7.5) не може бути визначеним безпосередньо, оскільки неможливо визначити дійсні (у генеральній сукупності спостережень) значення випадкової величини ε_i. Але його можна оцінити звичайним методом найменших квадратів (МНК ) на основі відомих залишків для статистичної вибірки. Тоді отримаємо : . (7.6)

На практиці ж замість (7.6) частіше обчислюють наступну оцінку коефіцієнта автокореляції ρ:

. (7.7)

Оцінку (7.7) називають ще циклічним коефіцієнтом автокореляції.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається у наступних двох випадках :

1. коли економетричну модель будують на основі часових рядів (у цьому випадку, якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то буде спостерігатися і кореляція між послідовними значеннями стохастичної складової ε, особливо ,якщо використовуються лагові змінні ) ;

2. коли допущена помилка специфікації економетричної моделі – до моделі не включена істотна пояснююча змінна.

При наявності автокореляції залишків в принципі можна оцінити параметри узагальненої економетричної моделі звичайним однокроковим методом найменших квадратів (МНК). Але отримані при цьому оцінки параметрів будуть неефективними. Негативними наслідками цього, як і у випадку гетероскедастичності, будуть:

1. завищені значення дисперсії параметрів моделі ;

2. помилки при використанні t – тестів і F – тестів ;

3. неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.

4. Оцiнки МНК будуть незміщеними, але не будуть ефективними (нематимуть найменшої дисперсії).

5. Стандартнi оцінки коварiацiйної матриці оцінки МНК будуть зміщеними,i,як наслідок, процедури перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, основані на стандартних статистиках, будуть некоректними.