2.4. Формирование постепенного отказа с учетом рассеивания начальных выходных параметров машин и прогнозирование долговечности однотипных машин.

Полная схема потери машиной работоспособности учитывает:

• начальное рассеивание u₁ выходного параметра однотипных машин. В качестве него может выступать, например, точность измерений – для контрольно-измерительных машин.

• Рассеивание углового коэффициента (???) по времени для однотипных машин.

Мы уже говорили, что фактическое изменение выходного параметра технического состояния машины в рабочей области (от конца приработки до достижения параметром своего предельного значения) хорошо описывается линейной зависимостью (прямой линией) вида:

u(t) = u₁ +  t . (14)

Здесь u(t) - фактическое значение выходного параметра машины в момент времени t, u₁ – значение выходного параметра машины в начальный момент времени, а  - интенсивность (скорость) изменения выходного параметра машины.

Выходной параметр технического состояния u₁ в начальный момент времени ( t = 0 ) представляет собой случайную величину для набора однотипных машин. Практически – это значение выходного параметра машины после ее изготовления (или после участка приработки, так как он, обычно, очень мал), и для каждой машины u₁ – свое, определяемое технологией изготовления именно этой машины. Величина u₁ измеряется для каждой машины после ее изготовления и наладки, и заносится в технический паспорт данной машины. Таким образом, предприятие, изготовляющее машины, обладает информацией о величине u₁ для всех однотипных машин.

Случайная величина u₁ имеет нормальное распределение,

f( u₁) = (15)

причем, как обычно, математическое ожидание u₁ оценивается среднеарифметическим значением по ансамблю машин:

u₀ = . (16)

Дисперсия _u (или среднеквадратическое отклонение) этого распределения тоже вычисляется обычным образом. Таким образом, параметры этого нормального распределения могут быть определены.

После изготовления и наладки машины на предприятии проводится обычно ее пробная эксплуатация. Это дает возможность измерить выходной параметр в конце эксплуатации, и, как следствие, вычислить параметр  для данной машины. Интенсивность (скорость)  изменения параметра состояния имеет значительное рассеивание этого показателя для однотипных машин, что обьясняется влиянием на процесс большого числа конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов. Для набора однотипных машин v - это случайная величина с плотностью распределения, которая обычно соответствует нормальному распределения со средним значением v₀ и среднеквадратическим отклонением _V

f(v) = (17)

Таким образом, для однотипных элементов существует набор прямых линий с разными наклонами (скоростями v ), при этом параметры нормального распределения можно определить из данных опытной эксплуатации (или эксплуатации машин с обработкой данных по набору машин) (рис).

Средние значения u₀ , ₀ и построенная на их основе усредненная кривая

= u₀ + ₀ T (18)

описывает изменение усредненного по ансамблю выходного параметра машины u(t) для времени эксплуатации (наработки по времени) Т в усредненных условиях эксплуатации (рис.).

Представление (18) дает возможность определить средний ресурс машины T_P (когда выходной параметр достигает свое предельное значение u_P ) :

T_P = ( u_P – u₀ ) / ₀ (19)

Соотношения (14) – (18) показывают, что выходной параметр машины u(t) для каждого момента времени Т представляют собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением и дисперсией _u(T) :

f(u(T)) = (20)

Дисперсия этого распределения имеет вид:

. (21)

Как видно, при увеличении времени Т дисперсия увеличивается, что приводит к расплыванию распределения (дать рис.).

Формулы (20), (21) превращаются в частных случаях (или u₀ = 0, или ₀ = 0 ), уже в обсуждаемые ранее случаи. С увеличением наработки Т линейно увеличивается среднее значение выходного параметра, а дисперсия – расплывается. Это приводит к тому, что повышается вероятность отказа.

ДАТЬ РИС. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ в зависимости от Т.

Вероятность безотказной работы машины равна вероятности того, что выходной параметр u при данной наработке Т не превысит предельного значения параметра u_P :

P(T) = Вер ( u(T)  u_P )=  [ (u_P – u₀ - ₀ T) / (_u² + _² T²)^1/2 ] (22)

Здесь  - интегральная функция нормального распределения, табулированная (имеющаяся в пакете Ексель). Дать пояснения, геометрию – рис.?

Вероятность отказа машины, соответственно, равна.

Используя (14) – (21), получим для Р(Т):

P_отк(T) = 1 -  [ (u_P – u₀ - ₀ T) / (_u² + _² T²)^1/2 ] (23)

Пояснить, дать рис..

ПРИМЕРЫ – будут в лаб. Работе.

Таким образом, возможно построить функцию вероятности отказа Р_отк(Т) для заданной наработки Т. Это можно использовать как для целей диагностики, так и для прогнозирования долговечности машины с заданной степенью безотказности.

Особенно важен такой прогноз для машин, непрерывно работающих вплоть до предельной наработки.

Кроме того, для оценки параметров нормального распределения для выходного параметра можно использовать результаты ускоренных испытаний, или эксплуатационных испытаний. Это дает возможность диагностировать и прогнозировать состояние машины, в том числе, ее долговечность.

Следует отметить, что рассматриваемый подход обладает большой общностью. В частности, он применим и для нелинейного поведения (степенного) выходного параметра, или какого-то другого, более общего, чем рассмотренные.

P_отк(T) = 1 -  [ (u_P – u₀(T) ) / _u (T) ] (24)

Здесь u₀(T) и _u (T) – экспериментально измеренные матожидание и дисперсия.

38