17 Определение перемещения в балках методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения.

Диф. уравнение: y”EI=-M

y’EI=EI=Mdz + C рад, т.к. угол поворота

интегрируем второй раз:

yEI=dzMdz + C*z + D (линейная длина)

Пример: Возьмём балку. Пусть к балке приложена сила, балка длинной l. Нас интересует прогиб и угол поворота.

y – прогиб;  - угол поворота.

M₁ =-Fz;

y”EI=Fz – Диф. уравнение для данной балки.

интегрируем второй раз:

C и D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, т.е. когда:

Z = l, тогда y=0, =0

, отсюда

Первая постоянная найдена, ищем вторую постоянную:

, откуда

Получим: , рад

, ед. длины

получили уравнения, с помощью которых можно определить угол поворота и прогиб в любом сечении этой балки, т.к. 0 ≤ Z ≤ l;

при Z=0 рад

ед. длины

В заделке, т.е. при Z=l =0; y=0.

Рассмотренный метод определения перемещений удобен, если балка имеет один максимум 2-х силовых участков, т.к. в этом случае будет 2 или 4, постоянных интегрирования (C и D)  Метод хорош, но для простых балок, по этому он нам не очень подходит.

18 Определение перемещений в балках методом начальных параметров.

Этот метод отличается от метода непосредственного интегрирования тем, что независимо от количества силовых участков в балке, число постоянных интегрирования всегда будет 2.

Метод начальных параметров определяет перемещение на основе диф. уравнения

y”EI=-M, только его интегрирование выполняется не обычно, а с учётом 4-х формальностей, эти формальности необходимо соблюдать при решении задач.

Формальности:

1)Начало координат выбирают на левом конце балки.

2)Выражение в скобках, например: (z+a) – z-переменная, a-постоянная, интегрируется без раскрытия скобок.

3)Сосредоточенные моменты учитывают с плечом (при интегрировании), но плечо возводят в нулевую степень.

M(z+a)⁰

4)Распределенные нагрузки, не доходящие до правого конца балки продлеваются и уничтожаются, чтобы не оказать никакого влияния.

Соблюдение этих формальностей при интегрировании уравнения y”EI=-M позволяет получить универсальное уравнение для определения перемещений.

Для угла поворота:

(рад)

(дл.)

,y – перемещение.

EI – жёсткость балки при изгибе.

₀, y_{0 –} начальные параметры(перемещение балки в начале координат)

z– расстояние от силы до сечения в котором определяется перемещение по оси координат Z.