12 Понятие о центре изгиба.

Если балка относительно силовой плоскости (главной оси у) не симметрична, то достигнуть плоского поперечного изгиба в такой балке нельзя.

Возьмем сечение балки.

Заменим касательное напряжение в полках силами.

- в таком сечении.

Для того чтобы избавиться от крутящего момента заданного несимметричного сечения относительно оси у необходимо приложить силу F не в центре тяжести, то есть не по главной оси, а сместить ее так чтобы

- переменная

даст точку в которой М=0

знак “-“ показывает, что точка в отрицательной области.

k – центр изгиба

13 Потенциальная энергия (работа деформации) при изгибе.

Энергия (работа деформации) необходима для определения перемещения в балках и для расчета упругих элементов (рессор, трамплин, металлические устройства, лук).

В изогнутой балке возьмем элементарный объем, там действует нормальное и касательное напряжения.

Вычислим элементарную потенциальную энергию для объема dV

Поставим вместо и их значения и проинтегрировав по dA и dZ получим полную энергию (работу) деформации балки при изгибе.

где - жесткость балки при изгибе

- изгибающий момент

GA – жесткость балки при сдвиге

Q – перерезываюўая сила

К – некоторая постоянная, которая определяется как

Q в длинных балках можно пренебречь.

- для практических целей используют приближенное нахождение энергии.

14 Деформации (перемещения) при изгибе балки. Общие сведения

Деформации балок необходимы для оценки их жесткости и всех расчетов, связанных с жесткостью (подбор сечения, длины балки, мах нагрузки и т.д.)

Условие жесткости балки в общем виде можно записать

где - рассчитанная теоретически максимальная деформация

- допускаемая деформация, определяемая опытным путем или задаваемая из конструктивных соображений

l – общая длина пролета балки или общая длина консоли

100-1000 – цифры конструктивного выбора.

- угол поворота сечения

Возьмем сечение z и на удалении dz другое сечение z

- радиус кривизны изогнутой балки

15 Вывод дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

- для сопротивления материалов

- для математики

- полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

(упругой линии).

т.к. <<<1 , то знаменатель можно принять за единицу

Таким образом, получаем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой балки (упругой линии).

С помощью приближенного дифференциального уравнения определяются прогибы и углы поворота в любых балках, т.к. полное уравнение очень трудно решается.

16 Правило знаков для прогибов и углов поворота при перемещении.

 уравнение изогнутой оси балки запишется

y”EI=M

Выберем координаты по другому:

В данном случае дифференциальное уравнение запишется так:

y”EI=-M

Для строительных специальностей перемещение вниз положительно.