Сложение колебаний

Представим, что шарик движется в двух полях, н.р. заряженный математический маятник рядом с которым симметрично расположены заряды одинакового знака. Шарик движется финитно. В этом случае шарик не обязательно будет совершать гармонические колебания, даже если обе ямы параболические. Процесс нахождения результирующего колебания называется сложение колебаний. Суммарное колебание зависит от характера колебаний. До этого мы рассматривали колебания скалярной величины, но может колебаться и вектор, а скаляр – это его проекция. Суммарное колебание зависит от - одинаковая она или разная.

Пусть отдельно уравнения колебаний для гравитационного и кулоновского поля имеют вид

- одинаковые, но разные начальные фазы колебаний.

Итак, сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой есть гармонические колебания.

Посмотрим, как складываются гармонические колебания с разными частотами.

Разберем частный случай: и чуть-чуть отличаются друг от друга. Пусть амплитуды и начальные фазы колебаний одинаковы.

при .

Точная настройка двух струн на гитаре означает, что мы стремим , , т.е. .

Если гитара расстроена, то - значительно, и две струны, расположенные рядом, издают звук похожий на «ау-ау» с периодом .

Результат сложения двух близких по частоте колебаний называется биение. Если частоты хотя бы немного различаются, то колебания становятся не гармоническими (биения).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Колеблющиеся вектора, колеблются в перпендикулярных векторах.

Получили уравнение эллипса, полуоси которого расположены под углом к осям координат.

.

По данной траектории колеблется конец вектора, являющийся суммой двух взаимно перпендикулярных рассматриваемых векторов. Конец этого вектора колеблется от начала координат на расстоянии .

.

Результирующее движения является гармоническим колебанием той же частоты.

.

.

Получили каноническое уравнение эллипса.

Применение комплексных чисел для записи гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

.

Если длина этого вектора равна амплитуде колебаний, а угол – фазе, то проекция на – колеблющейся величине.

Комплексные числа можно записывать в тригонометрическом и показательном виде.

.

– комплексная амплитуда.

.

.

Когда одинаковы, тогда в любой момент времени соотношение между векторами будет всегда одинаково.

Затухающие колебания.

Пусть есть трение. В общем случае трение пропорционально скорости. Запишем второй закон Ньютона.

.

1)

.

Получили негармонические колебания с меньшей частотой.

Такие колебания называются затухающими колебаниями.

Найдем время, за которое амплитуда колебаний уменьшиться в раз.

.

– характерное время затухания.

Во сколько раз измениться амплитуда за период?

.

– декремент затухания.

– логарифмический декремент затухания.

– добротность системы.

Пусть есть диссипативные силы (силы трения) в общем случае пропорциональные скорости.

;

;

.

1) - рассмотрено раньше.

2) .

- т.е. функция.

Рассмотрим два вида начальных условий:

- ; (т.е. шарик на нитке или пружине только оттянули). Тогда .

- ; (т.е. шарику сообщили некоторую скорость). Тогда

Т.е. шарик отклонится и вернётся обратно.

3)