16. Принцип Даламбера-Лагранжа.

Сумма элементарных работ всех активных сил Р_акт, приложенных к материальной системе, а также всех сил инерции Ф_ин точек системы на любом возможном перемещении системы из данного ее положения равна нулю:

(1)

или в координатной форме

(1a)

где   - проекции активных сил   x_i, y_i, z_i - координаты точек их приложения;   масса и проекции ускорения i-й точки системы.

В частном случае равновесия системы (  ) уравнение (1а) преобразуется в уравнение начала возможных перемещений (формула 1б "Начало (принцип) возможных перемещений), называемое также общим уравнением статики.

 (1б)

OR

Принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение динамики.

Рассматривая принцип как теорему, для его доказательства используем принцип Даламбера. Напомним, что он получен из дифференциальных уравнений несвободной системы материальных точек, которые записаны на основе второй аксиомы динамики (второго закона Ньютона) и аксиомы связей теоретической механики.

Запишем для каждой точки системы принцип Даламбера:

Умножим скалярно обе части этих выражений на виртуальные перемещения точек системы, а затем сложим между собой правые и левые части полученных выражений, в результате получим математическую запись принципа Даламбера-Лагранжа:

(1)

который можно сформулировать так: при движении любой материальной системы виртуальная работа активных сил, реакций связей и сил инерции системы равна нулю.

Этот принцип или общее уравнение динамики является основой всей аналитической механики, он справедлив для систем с любыми видами связей, то есть с его помощью можно составить уравнения движения любых материальных систем с любым числом степеней свободы и доказать принцип виртуальных перемещений, служащий для составления уравнений равновесия.

Принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение динамики для систем с идеальными связями. Если все связи, наложенные на систему, являются идеальными, то выражение (1) принимает вид

(2)

то есть при движении системы с идеальными связями виртуальная работа активных сил и сил инерции системы равна нулю.

17. Принцип виртуальных перемещений.

ВОЗМОЖНЫМ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ системы из данного ее положения называется всякое бесконечно малое перемещение ее точек, одновременно допускаемое наложенными на систему связями. Возможное перемещение обозначается δ в отличие от действительного перемещения системы под действием приложенных к ней сил, которое обозначается d.

Число независимых возможных перемещений системы определяется числом ее степеней свободы, которое в свою очередь равно числу обобщенных координат системы q.

НАЧАЛО (ПРИНЦИП) ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (НВП): для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом независимом возможном перемещении системы из данного ее положения равнялась нулю:

(1)

Уравнение НВП в векторной форме

 (1а)

в координатной форме

 (1б)

в естественной форме

(1в)

где 

В число активных сил при составлении уравнения НВП кроме внешних нагрузок включаются реакции упругих связей, силы трения неидеальных связей, а также внутренние силы, действующие между теми точками системы, расстояние между которыми изменяется.

Практически наиболее удобный способ определения независимых возможных перемещений системы состоит в том, чтобы определять эти перемещения, сообщая бесконечно малое приращение δq одной из обобщенных координат. Уравнение (1) в таком случае приобретает вид:

Коэффициенты Q_i носят название обобщенных сил. Так как δq₁ независимы друг от друга, НВП может быть сформулировано следующим образом: для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы системы были равны нулю.