Обчислення інтегралів методом Монте-Карло.

1Спосіб усереднення підінтегральної функції.

В якості оцінки певного інтеграла приймають

,

де n - число випробувань;

- можливі значення випадкової величини X, розподіленої рівномірно в інтервалі інтегрування , їх розігрують за формулою ,

де - випадкове число;

Дисперсія усереднює функції дорівнює:

,

де , .

Якщо точне значення дисперсії обчислити важко або неможливо, то знаходять вибіркову дисперсію (при n> 30)

, або виправлену дисперсію (при n <30)

,

де .

Ці формули для обчислення дисперсії застосовують і при інших способах інтегрування, коли усереднюється функція не збігається з подинтегральной функцією.

В якості оцінки інтеграла   , Де область інтегрування D належить одиничному квадрату   ,   , беруть:

, (*)

де S - площа області інтегрування;

N - кількість випадкових точок , що належать області інтегрування.

Якщо обчислити площу S важко, то в якості її оцінки можна прийняти В цьому випадку формула (*) має вигляд:

,

де n - число випробувань.

В якості оцінки інтеграла ,

де область інтегрування V належить одиничному кубу , , ,

беруть: ,

де V - обсяг області інтегрування;

N - число випадкових точок , що належать області інтегрування.

Якщо обчислити об'єм важко, то як його оцінки можна прийняти ,

В цьому випадку формула (**) має вигляд ,

де n - число випробувань.

Приклад

Завдання: знайти оцінку певного інтеграла .

Рішення

Використовуємо формулу .

За умовою, a = 1, b = 3, , приймемо для простоти число випробувань n = 10.

Тоді оцінка , де можливі значення розігрується за формулою .

Результати десяти випробувань наведені в таблиці 1.

Випадкові числа взяті з таблиці додатку.

Таблиця1.

Номер i
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	0,100  0,973  0,253  0,376  0,520  0,135  0,863  0,467  0,354  0,876	1,200  2,946  1,506  1,752  2,040  1,270  2,726  1,934  1,708  2,752	2,200  3,946  2,506  2,752  3,040  2,270  3,726  2,934  2,708  3,752

З таблиці 1 знаходимо .

Шукана оцінка

Спосіб істотної вибірки, що використовує «допоміжну щільність розподілу».

В якості оцінки інтеграла приймають ,

де n - число випробувань;

f (x) - щільність розподілу «допоміжної» випадкової величини X, причому ;

- Можливі значення X, які розігрують за формулою .

Функцію f (x) бажано вибирати так, щоб відношення при різних значеннях x змінювалося незначно.

Приклад

Завдання. Знайти оцінку   інтеграла

Рішення. Так як , То в якості щільності розподілу «допоміжної» випадкової величини X приймемо функцію .

З умови знайдемо . Отже, , запишемо шуканий інтеграл так:

.

Таким чином, інтеграл I представлений у вигляді математичного сподівання функції . Як шуканої оцінки приймемо вибіркову середню (для простоти обмежимося десятьма випробуваннями):

,

де - Можливі значення X, які треба розіграти за відомою щільності .

За правилом (для того, щоб розіграти можливе значення   неперервної випадкової величини X, знаючи її щільність ймовірності f (x), треба вибрати випадкове число і вирішити щодо рівняння , або рівняння ,

де a - найменше звичайно можливе значення X), маємо .

Звідси знаходимо явну формулу для розігрування можливих значень X:

.

У таблиці 2 наведено результати 10 випробувань.

Склавши числа останнього рядка таблиці 2, отримаємо . Шукана оцінка дорівнює .

Таблиця 2. 

Номер i
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	0,100  0,973  0,253  0,376  0,520  0,135  0,863  0,467  0,354  0,876	0,140  0,980  0,326  0,459  0,600  0,185  0,894  0,550  0,436  0,905	1,150  2,664  1,385  1,582  1,822  1,203  2,445  1,733  1,546  2,472	1,140  1,980  1,326  1,459  1,600  1,185  1,894  1,550  1,436  1,905	1,009  1,345  1,044  1,084  1,139  1,015  1,291  1,118  1,077  1,298