Ответ 17 Монотонные функции. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции

Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.

Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции .

Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке ( ) возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .

Ответ 18

Определение производной в точке. Физический и геометрический смысл производной в точке. Использование понятия производной в экономикеПроизводной функции в точке называется конечный предел (если он существует) при отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента.

Производную функции в точке будем обозначать символом или . По определению производной

.

Физический смысл производной

величина производной в этой точке характеризует скорость изменения функции в точке .

Геометрический смысл производной

производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции.

Использование понятия производной в экономике

Рассмотрим издержки производства как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть — прирост продукции, а — приращение издержек производства. Тогда отношение — это средние издержки производства на одну единицу продукции. Производная

называется предельными издержками производства. Аналогично можно определить предельный доход, предельную выручку, предельную полезность и так далее.

Ответ 19 Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (3)

где — некоторое число, не зависящее от , — бесконечно малая функция при .

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Ответ 20

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции в точке.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Ответ 21

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Теорема 1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем .

Теорема 2. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда сумма и разность этих функций также имеют в этой точке производные, причем

.

Теорема 3. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда произведение этих функций также имеет в этой точке производную, причем .

Теорема 4. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда частное этих функций при условии, что также имеет в этой точке производную, причем .

Ответ 22

Теорема о производной обратной функции

Теорема. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует конечная производная . Тогда обратная функция имеет производную в точке , равную .

.

Ответ 23

Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке и справедлива следующая формула

. (1)

Ответ 24

Логарифмическая производная. Эластичность функции.

Пусть функция положительна и дифференцируема в данной точке . Тогда в этой точке существует . Рассматривая как сложную функцию аргумента , можно вычислить производную этой функции, принимая за промежуточный аргумент. Получим

.

Эта производная называется логарифмической производной функции в данной точке .

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при . Из определения эластичности, обозначаемой следует, что

,

то есть эластичность равна произведению независимой переменной на логарифмическую производную функции .