Ответ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей
Определение. Последовательность
называется бесконечно большой,
если для любого положительного числа
найдется номер
,
зависящий от
,
такой, что для всех номеров
справедливо неравенство
.
Определение.
Последовательность
называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа
Х найдется номер
,
зависящий от
,
такой, что при
все
элементы
этой последовательности удовлетворяют
неравенству
.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Из теоремы 4 вытекает следующее следствие.
Следствие. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Действительно, поскольку бесконечно малая последовательность ограничена, а по теореме 4 произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность, то данное следствие справедливо.
Теорема
5. Если все элементы
бесконечно малой последовательности
равны одному и тому же числу
,
то
.
Теорема
6. Если последовательность
{
}
— бесконечно большая, то, начиная с
некоторого номера, определена
последовательность
,
которая является бесконечно малой. Если
все элементы бесконечно малой
последовательности
не равны нулю, то последовательность
— бесконечно большая.
Ответ 6. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы, Определение предела функции при , ( ).
Определение
(по Гейне). Число
называется предельным значением
функции
в точке
или пределом функции при
,
стремящемся к
,
если для любой сходящейся к
последовательности
значений аргумента
,
все элементы которой отличны от
,
соответствующая последовательность
значений
функции сходится к
.
Если число является предельным значением функции в точке , то пишут
.
Определение.
Число
называется правым (левым) пределом
функции
в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности
значений аргумента функции, все элементы
которой больше (меньше)
,
соответствующая
последовательность
значений функции сходится к
.
Определение. Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Определение. Число называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Ответ 7.
Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение
Теорема.
Пусть, заданные на одном и том же множестве
функции
и
имеют в точке
предельные значения
и
.
Тогда функции
,
,
и
имеют в точке
предельные значения (частное при условии,
что
),
равные соответственно
,
,
и
.
Ответ 8
Свойства функций, имеющих предельные значения, связанные с неравенствами
Теорема 1. Если
функция
имеет в точке
предельное значение, равное
,
и в некоторой проколотой окрестности
точки
справедливо неравенство
,
то
.
Теорема 2. Если
функции
и
имеют в точке
предельные значения, равные
и
,
и в некоторой проколотой окрестности
точки
справедливо неравенство
,
то
.
Теорема 3. Если
функции
и
имеют в точке
одинаковые предельные значения, равные
,
и в некоторой проколотой окрестности
точки
справедливо неравенство
,
то функция
также имеет в точке
предельное значение, равное
.
Теоремы
1-3 справедливы и при
,
если указанные в их формулировках
неравенства выполняются при условии
,
где
— некоторое положительное число.