Ответ 3. Понятие функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции.

Если каждому значению переменной из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону единственное число , то говорят, что на множестве задана функция .

При этом называется аргументом функции, множество — областью задания функции . Число , которое соответствует данному значению аргумента , называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество , называемое множеством значений функции.

Функция называется четной (нечетной), если для любого из области определения функции справедливо равенство ( ).

Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции справедливо равенство . Наименьшее из чисел называют периодом функции.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.

Способы задания функции

Аналитический - функции задаются при помощи формул.

Табличный - В этом случае для некоторых значений переменной указывают соответствующие значения функции.

Графический. Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами , .

Простейшие элементарные функции.

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

Простейшими элементарными функциями

линейную (y=kx+b),

квадратичную (y=ax²+bx+c),

степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1),

показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1),

логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1),

тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x),

обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

Ответ 4.

Последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами обозначают также { }.

Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               |x_n - a| < e.                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:  или x_n→ a.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и .

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .