25. Дифференциал функции n переменных.

ОПР: Дифференциалом du дифференцируемой в точке М(х1,х2,…,хn) функции

u=f(x1, x2,…, xn) называется главное линейное относительно приращения аргумента часть приращения этой функции в точке М.

du = A1x1+A2x2+….+AnXn

Если все коэффициенты Ai=0, то дифференциал функции в точке М считается равным 0.

ОПР: Под дифференциалом dx_i независимой переменной Хi, понимают любое не зависящее от х1,х2,…,хn число b. В дальнейшем условимся: dxi= i= .

du =A1dx1+A2dx2+…Andxn

Можно записать рабочую формулу для вычисления дифференциала:

du=

26. Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида: U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1), Xi=i(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)

TЕОР: Пусть функция (2) дифференцируема в некоторой точке Nо ( , а функция (1) дифференцируема в точке Мо( , причем Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn), где Х1,Х2,…,Хn определяется по формулам (2) дифференцируема в точке Мо, при этом частные производные этой сложной функции вычисляются по формулам:

……………………………………

в которых берутся в точке Mо, а частные производные берутся в точке Nо.

ТЕОР: если функции x=x(t), у=у(t) дифференцируемы в точке To, а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Мо(Xo,Yo), где Xo=X(to), Уo=У(to), то z=f(x(t),y(t)) дифференцируется в точке to, причем производная сложной функции dz/dt вычисляется по формуле

27. Производная по направлению. Градиент.

Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo) принадлежащей 3-мерному евклидову пространству и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч задается единственным вектором (соs, cos,cos) Угол наклона к осям. Зафиксируем один такой луч. Проведем из точки Мо луч, содержащий единичный вектор M. Зафиксируем на нем точку М и определим отрезок МоМ. Если l - длина этого отрезка, то его координаты (lcos, lcos, lcos) C другой стороны:

(x-xo, y-yo, z-zo) Т.о. получили один и тот же отрезок:

П риравняем

(2) (1)

u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos) Т.о. u - сложная функция.

ОПР: Производную указанной сложной функции по переменной l, взятую в точке l=0 называют производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определяемому единичным вектором l. Обозначение:

ОПР: Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид grad(Mo)=

Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(

Основные свойства градиента:

1. Градиент функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо.

2. Производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенные градиентом этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению со значением производной в этой точке по любому другому направлению

Геометрический смысл градиента:

ОПР: Линией уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если в каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня – функция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.