46. Теорема абеля.

ТЕОР: если степенной ряд сходится при x=x0 (x00), то ряд сходится и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|. Если ряд степенной ряд расходится при x=x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству |x|>|x1|.

Док-во: Докажем I часть теоремы. Так как по условию степенной ряд

а0+а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) сходится, то его общий член аn xⁿ0 0 при n, откуда следует, что последовательность {аnxⁿ0} ограничена, т. е. существует число M>0 такое, что |аn xⁿ0|<M, n=0, 1,2,… (2). Перепишем ряд (1) в виде а0+а1 x0 (x/x0)+ а2 x²0 (x/x0)²+…+аn xⁿ0 (x/x0)ⁿ+… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: |а0|+|а1 x0||x/x0|+|а2 x²0||x/x0|²+…+|аn xⁿ0||x/x0|ⁿ+… (4). Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда M+M|x/x0|+M|x/x0|²+…+M|x/x0|ⁿ+… (6). При |x|<|x0| ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=|x/x0|<1 и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при |x|<|x0| сходится абсолютно.

Докажем II часть теоремы. По условию, в точке x1 ряд (1) расходится. Требуется доказать, что он расходится для всех х, удовлетворяющих условию |x|>|x1|. ПП: что при некотором значении х таком, что |x|>|x1|, ряд (1) сходится. Тогда по доказанному ряд (1) должен сходиться и в точке x1, так как |x|>|x1|. Но это противоречит тому, что в точке x1 ряд расходится.

47. Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

ТЕОР: если ряд сходится не для всех х и не только при х=0, то существует R>0 такое, что ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|<R, и расходится для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>R.

Док-во: обозначим через Х множество точек, в которых ряд а0+а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) сходится. Докажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку x1, в которой ряд расходится, то по теореме Абеля для любого х из Х выполняется неравенство |x|<|x1|. Известно, что у ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань. Положим R=sup |x|.Так как ряд сходится не только при х=0, то R>0. Возьмем теперь любое х, для которого |x|<R. Согласно свойству точной верхней грани найдется x0Х такое, что |x|<|x0|R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х. Возьмем теперь любое х, для которого |x|>R. Такое xX. Следовательно, при этом х ряд расходится.

(-R, R) – интервал сходимости степенного ряда, R – радиус сходимости степенного ряда.

Сходимость степенного ряда на концах интервала проверяется отдельно, и в зависимости от результатов точки –R и R включаются или не включаются в ответ.

48. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.

ТЕОР: если существует lim |an+1/an|0, то радиус сходимости степенного ряда

R=lim|an/an+1|.

Док-во: рассмотрим частичную сумму ряда а0+а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) Sn. По условию существует lim |an+1/an|=1/R0 при каждом х степенной ряд становится числовым. Проверим сходимость ряда по Даламберу lim| |=lim| ||x|=1/R|x|.

1. если |x|/R<1, то ряд сходится  ряд сходится для любого |x|<R, ряд абсолютно сходится.

2. если |x|/R>1, то ряд расходится  ряд расходится для всех |x|>R.

Получили, что исходный степенной ряд сходится на промежутке x(-R, R).

Если lim |an+1/an|=0, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Если lim |an+1/an|=, то ряд сходится в 1 точке х=0.

3