18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке [a,b), но неограниченную на нем. Для определенности положим, что f(x) ограничена и интегрируема на любом отрезке [a,b-], 0< <b-a, но неограниченна в любой окрестности точки b или на промежутке [b-,b]. В таком случае b называется особой точкой.

ОПР: Предел интеграла при 0 называется несобственным интегралом II рода и обозначается . Если этот предел конечный, то говорят что интеграл существует или сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на промежутке [a,b), если предела нет или он бесконечен, то говорят что интеграл расходится. Аналогично, если особой является точка х=а, то несобственных интеграл II рода определяется как Если функция f(x) не ограничена в окрестности некоторой внутренней точки с[a,b], то по определению полагают , где несобственные интегралы II рода в правой части этого равенства определяются соответственно по формулам предыдущим. Если а и b особые точки, т.е. функция f(x) ограничена и интегрируема на интервале (a,b), то несобственный интеграл II рода определяется в виде суммы , где с - произвольная точка на (a,b), а несобственные интегралы II рода в правой части этого равенства определяются соответственно по формулам.

19. Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.

Метрические пространства.

ОПР: На множестве Х определена структура метрического пространства, если задана функция (x,y) двух произвольных элементов этого множества, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. (x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y

2. (x,y)=(y,х)

3. (x,y)(x,z)+(z,y) (неравенство )

(х,y) функция метрики или функция расстояния между точками х и уХ.

Т.о. метрическое пространство R образует множество Х, с введенной на этом множестве функции расстояния метрического пространства R=(X, ). Если положим, что х=у, то 0(x,z)+(z,y)

ОПР: M-мерным координатным пространством А^m называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей m действительных чисел (x1, x2, x3,…, xm)

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2,…,xm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М, при этом числа x1, x2, …,xn называются координатами точки М, что символически записывается так М( x1, x2,…xn)

Чтобы множество Х было метрическим пространством нужно: выберем в качестве множества Х n- мерное координатное пространство, возьмем любые х, у принадлежащие этому пространству. Х(х1…хn), y(y1..yn). Введем функцию расстояния на Х между х и у. Р(х,у)=

Линейное пространство L

ОПР: множество элементов L, содержащее хотя бы один элемент, называется линейным или векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

1. Любые x ,yL, однозначно определен 3 элемент z, называемый их суммой, обозначаемый z=x+y, причем справедливые следующие свойства:

А) х+у=у+х (ассоциативность)

Б) (х+у)+z=x+(y+z)

В) Существует элемент (его обычно обозначают за 0) такой, что x+0=X

Г) Существует элемент Х, называемый противоположным, такой что x+x’=0

2. Для любого числа  и любого элемента хL определен элемент уL у=x при этом справедливы свойства:

А) (^х)=()^х

Б) (+)х=х+х

В) (х+у)=х+у

Г) 1*x=x

х=х, где ,  некоторые числа, х и у точка множества L. Если в аксиоме  и  принадлежат множеству вещественных чисел, то множества L называется действительным линейным пространством.

Нормированное пространство N

ОПР: Возьмем функция f(x)=||x||, ставящая каждому элементу х из множества L в соответствие вещественное число xL – называется нормой в линейном пространстве L, если выполнены следующие аксиомы:

1. f(x)=||x||=0 тогда и только тогда, когда х=0

2. f(х)=||*||x||=||*f(x)

3. f(x+y)=||x+y||||x|| +||y||=f(x)+f(y)

Пространство L, сведенное на этом множестве функцией норма X называют нормированным пространством и обозначают через N. ||x||>0

Следует отметить, что в любом норм пространстве может быть введена функция расстояния (x,y)=||x*y|| как норма элемента х и у.