13. Формула ньютона – лейбница.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на этом отрезке семейство первообразных, одной из которых является Ф(х)= .

ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то верно следующее равенство . Т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования соответственно. Она называется формулой Ньютона-Лейбница.

Док-во: Пусть F(x) другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке, которая отличается от Ф(х) не более чем на константу, т.е. Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С - некоторое число, axb. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)

Т.е. для любого х[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.

14. Замена переменных в определенном интеграле.

TЕОР: пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и пусть выполнены следующие условия:

1. функцию х=(t) дифференцируема на [,] и ’(t) непрерывна на [,]

2. множеством значений функции х=(t) является отрезок [a,b]

3. ()=a и ()=b, то справедлива формула

Док-во: По формуле Ньютона - Лейбница: , где F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x) на [a,b]. С другой стороны, рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F((t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’((t))*’(t)=f((t))’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f((t))’(t), непрерывной на [,] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, =Ф()-Ф()=F(())-F(())=F(b)-F(a)=

Это формулы замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

15. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

TЕОР: Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b] то справедлива формула

Док-во: Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). А т.к. функция u(x)v’(x)+v(x)u’(x) непрерывна на отрезке [a,b], то интеграл от нее существует, т.е. она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда по свойству 4 определенных интегралов получим, что то же .

16. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Разобьем этот отрезок на n равных частей точками (узлами) х=х_i (0In). Проведем прямые х=х_i и соединим соседние точки их пересечения с кривой f(x) хордами, т.е. построим n трапецией с основаниями y_i-1=f(x_i-1) и y_i=f(x_i) и высотой (b-a)/n каждая (0In). Сумма площадей этих прямоугольных трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции или искомому интегралу:

= ]

Это формула трапеции.

17. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

ОПР: Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +) и интегрируема на любом отрезке [a,R], R>0, так что интеграл имеет смысл, предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом I рода и обозначается

. В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a, +), если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]. . Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов

, где с - любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода основан на геометрической интерпретации определенного интеграла на отрезке [a,R]: это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией f(x), снизу осью Ох, слева - прямой х=ф. Такая же интерпретация имеет место и для остальных несобственных интегралов.