11. Основные свойства определенного интеграла.

Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла, на случаи когда a=b, a>b.

1. а) Если a=b, то по определению на отрезке нулевой длины полагаем, что =0

б) Если а>b, то по определению =- (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, Xi=Xi-Xi-1<0

2. Для любых чисел а, b и с справедливо равенство: = + (интегралы, входящие существуют)

Док-во: Допустим, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы  не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если, например, с=х_m, то  можно разбить на две суммы: = = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при  мы и получим искомое равенство.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем:

= + , откуда учитывая (4) получаем

= - = + .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к .

Док-во: для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек _I

=k Переходя к пределу при 0 имеем

= =к = к .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.  .

Док-во: для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек _I

_{= } Так как = и

= , то получаем что

₌  = 

5. Теорема о среднем

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] то существует т С, принадлежащая этому сегменту, такая что =f(c)(b-a). Эта формула называется формулой среднего значения.

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a,b] то по второй теореме Вейерштрасса, существуют числа m и М такие что f(x)=mf(x)M= f(x). Отсюда находим

m(b-a) M(b-a), следовательно, m . Положим, = (mM). Так как  заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции f(x) и на [a,b] то по теореме о прохождении функции через любое промежуточное значение, существует точка с[a,b] такая что f(c)=. Поэтому =f(c), а это равносильно искомому равенству. Величина f(c) называется средним значение функции f(x) на отрезке [a,b].

Теорема о среднем имеет геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x)>=0 равна площади прямоугольника имеющего высоту f(c) и основание b-a.

12. Интеграл с переменным верхним пределом.

ОПР: x  [a,b] - это интеграл, у которого нижний предел а=const, а верхний предел х – переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела - (х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.

ТЕОР: Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=( )’_x=f(x)

Док-во: Ф’(х)= Ф(х)=

= - = + - = =f(c)* x. По теореме о среднем существует c[x, x+x]

Ф’(x)= Отсюда следует, что Ф’(x)=f(x)