7. Метод неопределенных коэффициентов.

Он заключается в том, чтобы следовать алгоритму:

1. Привести к общему знаменателю и сгруппировать при степенях Х, получим дроби с равными знаменателями.

2. Приравниваем числители.

3. Получим 2 многочлена, они равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях Х. Поэтому составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях Х.

8. Основные типы интегралов от рациональных функций.

1. А/(х-а)dx=Ad(x-a)/(x-a)=Aln|x-a|+C

2. Аdx/(х-а)^k=A (х-а)^-kd(x-a)=A(x-a)^1-k/1-k+C (k1)

3. ( )dx=M/2 +N( )=M/2((2x+p)/(x²+px+q))dx +(N-MP/2)(dx/(x²+px+q))=M/2ln| x²+px+q|+(N-MP/2)(dt/(t²+a²))

4.  dx=Mx/(x²+px+q)^kdx + Ndx/(x²+px+q)^k=

=M/2((2x+p) - p/(x²+px+q) ^k)dx + Ndx/(x²+px+q)^k= M/2((2x+p)/(x²+px+q) ^k)dx +

+ (N-Mp/2) dx/(x²+px+q)^k = M/2(x²+px+q) ^-kd(x²+px+q) + (N-Mp/2) dt/(t²+a²)^k=

M/2(x²+px+q) ^{1 – k} + (N-Mp/2) dt/(t²+a²)^k

Рекуррентная формула

dt/(t²a²)^k=1/(2a²(k-1))((t/(t²a²)^k)+(2k-3)dt/(t²a²)^k-1)

9. Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Рассмотрим функцию f(x) определенную в каждой точке сегмента [a,b], a<b

ОПР: Будем говорить, что задано разбиение сегмента [a,b] если заданы точки х_0, х_{1, ….,} х _n.

Такие что а=х_0<х_1<х _2<…<х_n=b {х _n} - разбиение х _n . Рассмотрим на сегменте [a,b] функцию f(x) принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {x_k} построим (х _к; _к)= (1)  _к[x_k-1;x_k] , (х _к; _к) - интегральная сумма. Она зависит от способа разбиения Xk и от выбора точек  _к Отрезки, получающиеся в результате разбиения [x_k-1;x_k] называются частичными отрезками.

 х_к =х_к-х_к-1 – длина частичного отрезка. И тогда интегральную сумму (1) можно записать в виде (х_к;_к)= (2)

Диаметр разбиения: максимальная длина частичного отрезка называется диаметром разбиения и обозначается числом d. d=max х_к

Геометрический смысл интегральных сумм:

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сегментом [a,b] снизу, неотрицательной функцией f(x) сверху, с боков прямыми x=a, x=b. Возьмем разбиение сегмента [a,b] {x_k}.На указанном сегменте выберем точки ₁, ₂,…, _к.

f(₁)*x₁+f(₂)*x₂+…. f(n)*x_n=(х_к;_к)=S*

f(₁)*x₁+f(₂)*x₂+…. f(n)*x_n=(х_к;_к)=S*

Вывод: интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, т.е. интегральная сумма (2) равна S*. Если мы устремим диаметр d к 0, S* будет стремится к площади криволинейной трапеции.

10. Понятие определенного интеграла.

ОПР: Если существует конечный предел I интегральных сумм  при 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= =

ОПР: функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.

ОПР: Число I называется определенным интегралом от функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 существует такое >0, что при  (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек i выполняется неравенство , или же для любого i[Xi-1, Xi]

ОПР: Интегрируемость функции по Риману: Число I называется пределом интегральных сумм , зависящих от (х_к;_к) при d0, если для любого положительного числа , найдется соответствующее ему положительное число , большее d, такое что для любого _к будет выполняться |(х_к;_к)-I|<. >0)(d<) _k: | (х_к;_к)-I|< Следует отметить, что существует только один предел  при d0

I=

ОПР: Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если для этой функции на указанном сегменте существует I= при d0)

ОПР: Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел

Следует отметить, что = =

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a,b] ограниченной сверху графиком функции y=f(x).