43. Знакочередующийся ряд. Признак лейбница.

ОПР: ряд вида а1 – а2+…+(-1) ¹аn+… (1), где все аn >0 называется знакочередующимся рядом.

Общим членом ряда считается аn, а не (-1) ¹аn. Сходимость такого ряда проверяется по признаку Лейбница.

ТЕОР: если абсолютные величины ряда монотонно убывают (а1 >а2>…) и lim аn=0, то ряд сходится.

Док-во: пусть дан ряд (1) и пусть аn >аn+1 и аn0 при n. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

S2n= а1 – а2 + а3 – а4 +…+ а2n–1 – а2n = (а1 – а2)+(а3 – а4)+…+(а2n–1 – а2n). Все разности в скобках в илу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S2n} является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2n в виде S2n= а1 – [(а2 – а3)+(а4 – а5)+…+ (а2n–2 – а2n–1)+ а2n]. Отсюда следует, что S2n< а1 для любого n, т. е. {S2n} ограничена. Итак, последовательность {S2n} возрастающая и ограниченная  она имеет предел lim S2n=S. Докажем, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S.

Действительно, S2n+1=S2n+ а2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n и используя второе условие (аn0 при n), получаем

lim S2n+1=lim(S2n+ а2n+1)=lim S2n +lim а2n+1 =S+0=S. Таким образом, последовательность частичных сумм {Sn} ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.

44. Знакопеременные ряды, их сходимость.

ОПР: Рассмотрим ряд а1 + а2+…+аn+… (1), члены которого могут принимать положительные и отрицательные значения, причем порядок следования положительных и отрицательных членов произвольный, такой ряд называется знакопеременным рядом.

Для знакопеременных рядов справедлива теорема: составим ряд из абсолютных величин исходного ряда |а1|+|а2|+…+|аn|+… (2).

ТЕОР: если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через Sn частичную сумму ряда (1), а через n частичную сумму ряда (2): Sn= а1 + а2+…+аn; n=|а1|+|а2|+…+|аn|. Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {n} имеет предел lim n=, при этом для любого n имеет место неравенство n (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны. Обозначим через S′n сумму положительных членов, а через S″n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn.Тогда Sn=S′n – S″n (4), n= S′n +S″n (5). Очевидно, что последовательности {S′n} и {S″n} не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S′nn и S″nn. Следовательно, существуют lim S′n= S′ и lim S″n = S″. Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

lim Sn=lim (S′n – S″n)=lim S′n – lim S″n =S′ – S″. Это означает, что ряд (1) сходится.

Все сходящиеся знакопеременные ряды делятся на: абсолютно и условно сходящиеся.

ОПР: если ряд (2) сходящийся, то ряд (1) абсолютно сходящийся.

ОПР: если ряд (2) расходящийся, то ряд (1) условно сходящийся.

45. Степенные ряды.

ОПР: ряд вида а0+а1 x+ а2 x²+…+аn xⁿ+… (1) называется степенным рядом. Числа а0, а1, а2,…, аn – коэффициенты степенного ряда.

Придавая х разные значения, будем получать разные числовые ряды, они могут быть сходящимися и расходящимися.

ОПР: Множество значений Х, при которых степенной ряд (1) сходится, называются областью схождения степенного ряда. Эта область не является пустой, так как ряд сходится хотя бы в 1 точке х=0.