39. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда неотрицательными членами.

ТЕОР: Чтобы ряд а1+а2+…+аn+… (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда {Sn} была ограничена.

Док-во: Необходимость. Пусть ряд (1) сходится  последовательность его частичных сумм имеет предел lim Sn  эта последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Так как (1) – ряд с неотрицательными членами  0S1S2…Sn…, то эта последовательность не убывает  она монотонная  она сходится.

Чтобы проверить сходимость числового ряда нужно воспользоваться достаточным условием сходимости рядов.

40. Признак сравнения.

ТЕОР: пусть даны 2 ряда с неотрицательными членами а1+а2+…+аn+… (1) и b1+b2+…+bn+… (2) для всех выполняется неравенство аnbn. Тогда

1. из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)

2. из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Док-во: обозначим через Sn и n частичные суммы рядов (1) и (2). Из неравенства аnbn следует, что Snn (3). Если ряд (2) сходится, то по необходимому и достаточному условию последовательность его частичных сумм ограничена, т. е. для любого n nM, где M– некоторое число. Но, тогда по формуле (3) и SnM, откуда по той же теореме следует, что ряд (1) сходится.

Если ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится, так как, допустив сходимость ряда (2), получим по только что доказанному сходимость ряда (1), а это противоречит условию теоремы.

41. Признак даламбера.

ТЕОР: пусть дан ряд а1+а2+…+аn+… (1) с положительными членами и существует предел lim an+1/an=. Тогда:

1. при <1 ряд сходится

2. при >1 ряд расходится.

Док-во: пусть <1 и lim an+1/an=. Докажем, что ряд (1) сходится. По определению предела числовой последовательности для (>0)(Nn): |an+1/an - |<. Отсюда следует, что  - < an+1/an<+ (2). Так как <1, то  можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство +<1. Полагая +=q, на основании правого из неравенств (2) имеем an+1/an<q или an+1< anq для n=N, N+1, N+2<… Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем aN+1< aNq

aN+2< aN+1q< aNq²

aN+3< aN+2q< aNq³

…………………

т. е. члены ряда aN+1+aN+2+aN+3 (3) меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии: aNq+aNq²+aNq³+… (4). Так как, то ряд (4) сходится. Тогда по признаку сравнения ряд (3) также сходится. Но ряд (3) получен из данного ряда (1) в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, ряд (1) сходится.

Пусть теперь >1. Докажем, что ряд (1) расходится. Возьмем  настолько малым, чтобы  - >1.Тогда при Nn в силу левого из неравенств (2) выполняется неравенство an+1/an>1 или an+1 >an. Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номера, т. е. общий член ряда аn не стремится к 0 при n. Следовательно по необходимому условию сходимости ряд (1) расходится.

42. Интегральный признак коши.

ТЕОР: пусть дан ряд f(1)+f(2)+…+f(n)+… (3), члены которого являются значениями функции:

1. f(x)>0 при x[1,)

2. непрерывной при x[1,)

3. убывающей при x[1,)

Тогда, если сходится , то сходится и ряд (3), если расходится , то расходится и ряд (3).