35. Метод множителей лагранжа.

ИДЕЯ: переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.

Составляют функцию Лагранжа, которая имеет вид (5) L=f+1F1+2F2+…+mFmextr, 1, 2, m – множители Лагранжа функции L=(u1, u2,…, um, x1, x2,…, xn, 1, 2,…, m).

Система 2m+n уравнений: решаем, находим стационарные точки

Mo(u⁰1,…, u⁰m, x⁰1,…, x⁰n), ⁰1,…, ⁰m, M1(u¹1,…, u¹m, x¹1,…, x¹n), ¹1,…, ¹m для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

36. Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

ОПР: рассмотрим числовую последовательность а1, а2,…, аn,… Образуем из ее элементов бесконечную сумму вида (1) а1+а2+…+аn+…=an – числовой ряд.

Sn – сумма первых n членов ряда.

Sn=ak=a1+a2+…+an – n-ая частичная сумма.

ОПР: ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда сходится. При этом предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда.

lim Sn  для сходящегося ряда, имеющего сумму S может быть равенство S=an.

ОПР: если для данного ряда предел последовательности сумм не существует, то ряд расходящийся.

Один из главных вопросов: установление признаков позволяющих решить вопрос о сходимости числового ряда. В качестве примера числового ряда можно использовать геометрическую прогрессию: если q<1, то ряд сходится; если q>1, то предел равен ; если q=1, то ряд расходится.

37. Свойства сходящихся числовых рядов.

ТЕОР: если ряд а1+а2+…+аn+… (1) сходится, то будет сходиться и ряд

а1+n+а n +2+…=ak (2).

Док-во: пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S. Обозначим через Sn сумму отброшенных членов ряда (1), а через k-n сумму первых k-n членов ряда (2). Тогда Sk=Sn+k-n (4). Из равенства (4)  lim k-n =lim(Sn – Sk)=lim Sn – lim Sk =S – Sk, т. е. последовательность частичных сумм {k-n}ряда (2) имеет предел, что означает сходимость ряда (2).

ТЕОР: если ряд а1+а2+…+аn+… сходится и его сумма равна S, то будет сходиться и ряд cS=cak (3).

Док-во: пусть Sn – частичная сумма ряда (1) Sn=ak, а n=cak – частичная сумма ряда (3). lim n =limcak =climak =clim Sn =cS, ряд сходится, сумма cS.

ТЕОР: если числовые ряды а1+а2+…+аn+… и b1+b2+…+bn+… (5) сходятся и их суммы равны S и , то ряд (anbn) (6) также сходится и его сумма равна S.

Док-во: пусть Sn и n – частичные суммы рядов (1) и (5), а n– частичная сумма ряда (6). Тогда n=(a1b1)+(a2b2)+…+(anbn)=(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)=Snn. Отсюда, переходя к пределу при n, получаем lim n =lim(Snn)=lim Snlim n =S, т. е. последовательность частичных сумм {n}ряда (6) сходится к S. Следовательно ряд сходится и его сумма равна S.

38. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

ТЕОР: если ряд а1+а2+…+аn+… сходится, то его общий член стремится к 0, lim an=0.

Док-во: по условию ряд сходится  S=an. Рассмотрим частичную сумму Sn=an, то lim Sn=S. Рассмотрим Sn - 1=an, lim Sn+1=S. Найдем разность

аn= Sn – Sn – 1, lim(Sn – Sn – 1)=S – S=0  lim an=0.

ОПР: ряд вида 1+½+⅓+…+1/n+… - называется гармоническим.

ТЕОР: Для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim an=lim1/n=0. Но этот ряд расходится.

Док-во: ПП: гармонический ряд сходится  S=an. Возьмем частичные суммы ряда Sn и S2n  lim(S2n – Sn)= lim S2n – lim Sn =0.

S2n–Sn=(1+½+…+1/n+1/n+1+…+1/2n)-(1+½+…+1/n)=1/n+1+1/n+2+…+1/2n

>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=½ S2n–Sn >½ Предположение о сходимости гармонического ряда неверно.