1. Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема).

ОПР: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x из этого промежутка выполняется условие F’(x)=f(x).

ЛЕММА: Функция, производная которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке.

Док-во: Пусть для xX f ’(x)=0, тогда для  X1, X2X, X1<X2 выполняется формула конечных приращений Лагранжа. (f ’(x)=0 - непрерывна, дифференцирована) f(X2) – f(X1) = f ’()(X2 – X1), (X1, X2), f ’() =0  f(X1) = f(X2)  f(x) = C.

ТЕОР: Если F(x) – первообразная для f(x), на промежутке X, то любая другая первообразная этой функции на промежутке X представлена в виде F(x) +C, где C – произвольная постоянная.

Док-во: Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X  (xX) F’(x) = f(x). Пусть функция (x) – первообразная для f(x)  (xX) ’(x) = f(x). Рассмотрим разность

((x) – F (x))’ = ’(x) – F’ (x) = f (x) – f (x) = 0  ((x) – F (x))’ = 0 на X  для xX эта функция является постоянной  (x) = F (x) + C, где C – произвольная постоянная.

2. Понятие неопределенного интеграла.

ОПР: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке X, то множество функций F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X и обозначается f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольная постоянная, при этом f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования. Это множество исчерпывает семейство первообразных. Для всякой функции f(x) непрерывной на промежутке X существует первообразная  существует и неопределенный интеграл.

ОПР: Восстановление функции по ее производной или отыскивание неопределенного интеграла – интегрирование функции. Интегрирование – операция обратная операции дифференцирования. Для того чтобы проверить правильность интегрирования надо продифференцировать результат.

1.  x dx = (x /(+1)) + C,   1

2.  dx/x = ln|x| + C

3.  0 dx = C

4.  dx = x + C

5.  cosX dx = sinX + C

6.  sinX dx = -cosX + C

7.  dx/cos X = tgX + C

8.  dx/sin X = -ctgX + C

9.  a dx = a /ln a + C

10.  e dx = e + C

11.  dx/(1+x ) = arctgX +C; -arcctgX + C

12.  dx/(1+x ) = arcsinX + C; -arccosX + C

13.  dx/(x +a ) = 1/a arctg(X/a) + C

14.  dx/(a - x ) = arcsin(X/a) + C

15.  dx/(x  k) = ln|x + (x  k)| + C

16.  dx/(x - a ) = 1/2a ln|(x – a)/(x + a)| + C

Основные свойства

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

( f(x)dx)’ = f (x)

Док-во: ( f(x)dx)’ = (F(x) + C)’ = F’(x) + 0 = f(x)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d( f (x)dx) = f(x)dx

Док-во: d( f(x)dx) = d(F(x) + C) = (F(x) + C)dx = F’(x)dx = f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала этой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

 d(F(x)) = F(x) + C

Док-во: dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx;  dF(x) =  f(x)dx = F(x) + C

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.

 kf(x)dx = k f(x)dx

Док-во: Пусть F’(x) = f(x), тогда функция kF(x) – первообразная для kf(x)  (kF(x))’ = k(F’(x)) = kf(x)   kf(x)dx = kF(x) + C1 = k(F(x) + C1/k) = k(F(x) + C) = k  f(x)dx при C = C1/k.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.

 (f(x)  g(x))dx =  f(x)dx   g(x)dx

Док-во: F(x) - первообразная для f(x), G(x) – первообразная для g(x)  F’(x) = f(x) и G’(x) = g(x). Тогда F’(x)  G’(x) – первообразная для f(x)  g(x). (F(x)  G(x))’ = F’(x)  G’(x) = f(x)  g(x) 

 f(x)dx   g(x)dx = (F(x) + C1)  (G(x) + C2) =  (f(x)  g(x))dx

ЗАМ: свойства справедливы для конечного числа функций.