9. Интеграл фкп по ориенторованной кривой и его св-ва

Пусть γ – ориент. кусочно-гладк. кривая на пл-ти С с началом в т. a и c концом в т. b.

Пусть L – длина γ. Пусть f(z)=U(x,y)+i*V(x,y) – огр. ф-ия, задан. в точках ZÎγ.

Опр. Интегралом от ф-ии f(z) по ориентир. кривой γ наз. число, обознач. символом:

òf(z)dz = ò [U(x,y)+iV(x,y)](dx+idy) = ò U(x,y)dx – V(x,y)dy + iò V(x,y)dx + U(x,y)dy (1)

Из этого опр-ия следует, что для сущ. инт-ла òf(z)dz необх. и дост. сущ. 2-х криволин. инт-ов второго рода от ф-ии действ. переменного.

Некоторые св-ва:

1) _γ+òf(z)dz= - [_γ- òf(z)dz] ( интегралы берутся по γ, далее везде)

2) òdz = b-a ; f(z)=1

òdz = òdx+iòdy = _a1ò^b1dx + i_a2ò^b2dy = (b1-a1) + i(b2-a2)= (b1+ib2)-(a1+ia2)=b-a.

3)Линейность интеграла

ò[af(z)+bg(z)]dz= a*òf(z)dz+b*òg(z)dz

4)Аддитивность

_γòf(z)dz = _γ1òf(z)dz+ _γ2òf(z)dz , γ= γ1 U γ2

5)| òf(z)dz| ≤ ò |f(z)| |dz| = { |dz|=(dx²+dy²)^1/2 = dl } =ò |f(z)|dl ≤ L max | f(z)| zÎ γ , L – длина

6)Пусть граница ∂D (n+1) – связной области D есть спрямл. кривые Жордана C0, C1…Cn, причем С1, С2…Сn лежат на внутри С0. Тогда если на границе ∂D=С0 U C1 U C2 U…Cn

задана непрерывн. ф-ия f(z), то :

_∂Dòf(z)dz = _C0òf(z)dz – _k=1∑ⁿ [_Ckòf(z)dz] (∂D, C0, Ck – обл-ти интегрир.)

7)Пусть кусочно-гладкая кривая γ задана ур-ем z=z(t)=x(t)+iy(t), где t Î [α , β]

Пусть f(z)=U(x,y)+iV(x,y) – непр. на γ. Потребуем, чтобы z’(t) ≠ 0. Тогда:

òf(z)dz= _αò^β [f(z(t)) z’(t)] dt

Док-во следует из связи интегр. ФКП и криволин. интегр. второго рода . РИС

10. Теорема Коши для простого контура.

Th. Если ф-я f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от f(z) по " замкнутой, кусочно-гладкой кривой Жордана gÎD равен нулю:

_g(ò)f(z)dz=0 (1)

Док-во:

Мы докажем эту Th. Для случая, когда ф-я f(z)=U(x,y) + iV(x,y) имеет непрерывную производную в области D, т.е. U(x,y), V(x,y)ÎC₁(D). По формуле Грина: _gòP(x,y)dx + Q(x,y)dy = _Dòò(¶Q/¶x - ¶P/¶y)dxdy (2)

D –область огранич.кривой g; P,QÎC₁(D)

_gòf(z)dz = _gò(U + iV)(dx + idy) = _gòUdx – Vdy + i_gòUdy + Vdx, получим:

_gò f(z)dz = -_Dòò(¶V/¶x + ¶U/¶y)dxdy + i _Dòò(¶U/¶x - ¶V/¶y)dxdy = 0 (C-R) #

Следствие: Пусть при условиях Th. g₁ и g₂ имеют общие начальные и конечные точки, так что - замкнутая кривая g₁Èg₂ ÎD. Тогда

_g1òf(z)dz =_g2 òf(z)dz Это означает, что интегрирование не зависит от пути интегрирования. _g1Èg2òf(z)dz = _g1ò + _g2^- ò = 0; _g1 ò f(z)dz - _g2 ò f(z)dzÞ _g1ò = _g2ò #

Th. Коши(обобщённая), когда ф-я не явл. аналитической на границе(на контуре интегрирования).

1. f(z) аналитична в односвязной области D, границей которой является кусочно-гладкая кривая Жордана.

2. f(z) непрерывна в Ď=DÈg

То: _gòf(z)dz=0 Без док-ва.