Шпоры к экзамену / Лекции 1 / 18
.doc17. Степенные ряды, круг и радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара.
Степ рядом наз ряд вида: k=0∑∞ ck * (z- z0) k , где ck и z0 -комплексные числа (const) и постоянные, а z – комплексная переменная.
k=0∑∞ ck * z k (1)
Опр.Число R наз радиусом сход-ти ряда (1), а круг |z|<R наз кругом сход-ти ряда (1).
Замеч. Радиус мы так же можем определить на основании признака Даламбера: R= k→∞lim (|ck/ck+1|) = k→∞lim (|ck|/|ck+1|).
Th. Коши –Адамара
Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L
= k→∞lim
(|ck|)1/k
. Этот ряд сходится при |z|<R,
и расходится при |z|>R,
где R=1/L ,
причем R=0 если L=∞,
и R=∞ если L=0.
Док-во:
k→∞lim
(|ck*
zk|)1/k
= k→∞lim
[|z|*(|ck|)1/k]
= L * |z| =
(1/R)*|z| = q
. Если |z|<R,
то q<1 , следовательно
сход. Если |z|>R,
то q>1, следовательно
расх. #
18. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Аналитичность суммы степенного ряда внутри круга сходимости.
Степенным рядом наз ряд вида: k=0å¥Ck(z-z0)k (1), где Ck и z0 - комплексные числа (const), а z - комплексная переменная. k=0å¥Ckzk (1) z0 – в начале координат.
Th (1ая теорема Абеля): Если ряд (1) сходится в т-ке z0¹0, то он абсолютно сходится в круге |z|<|z0|.
Док-во:
Т.к. (1) сходится в т-ке z0¹0, то из T (Коши-Адамара) { Th. Коши –Адамара
Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L
= k→∞lim
(|ck|)1/k
. Этот ряд сходится при |z|<R,
и расходится при |z|>R,
где R=1/L ,
причем R=0 если L=∞,
и R=∞ если L=0.
} => |z0|£R,
где R – радиус круга
сходимости. Значит и для круга |z|<|z0|<R
вытекает условие абсолютной сходимости.
#
Th (Абеля о равномерной сход степенного ряда): Ряд (1) сходится равномерно в " замкнутом круге, если этот ряд имеет радиус сходимости R³0, а 0<r<R
Док-во:
Т.к. выполняется неравенство 0<r<R, то по Th (Коши-Адамара) сход ряд k=1å¥|Ck|rk, если |z|£r, то |Ckzk|£|Ck|rk => по дост признаку Виерштрасса ряд k=1å¥|Ck|zk, - сходится равномерно в круге |z|<r. #
Замечание: если R=¥, то ряд сход равном на всей компл пл-ти.
Th: Сумма S(z) степ ряда (1) есть аналитическая ф-ия в его круге сходимости |z|<R, R>0, и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости ряда S(n)(z) = k=10å¥Ck(k-1)…(k-n)zk-n (2) также равен R.
Док-во:
Все члены ряда – аналитич ф-ии в круге сход и этот ряд сход равномерно в данном круге Þ по Th (Виерштрасса о почленном диф этого ряда){{ Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд k=1∑∞ αк , где для "к: αкÎR и αк ≥0, сходится, и для "к и " zÎE выполняется нер-во: |fk(z)| ≤αк , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.}} сумма этого ряда S(z) - есть аналитическая ф-ия и этот ряд можно почленно дифф в обл сходимости любое число раз.
19. Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической ф-ии в ряд Тейлора.
Опр. Пусть ф-ия f(z) аналитична в U(z0,R), * тогда ряд k=0å¥[[f(k)(z0)/k!]*(z-z0)k] (1) наз рядом Тейлора этой ф-ии с центром разложения в т-ке z0.
Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора).
Если ф-ия f(z)
аналит в обл D,
то для каждой т-ки z0ÎD
$
круг U(z0,R)
причем U(z0,R)
Î
D,
где ф-ия f(z)
представима рядом Тейлора f(z)
= k=0å¥[Ck*(z-z0)k];
Ck
=(f(k)(z0))/(k!)
и это представление единственно.
Док-во:
Построим круг U(z0,R)
такой, чтобы U(z0,R)
Î
D.
Граница круга - Cr.
Пусть z
- произвольная т-ка круга, z
Î
U(z0,R)
в этой т-ке справедлива интегральная
форма Коши: f(z)
= (1/2pi)Crò[(f(x))/(x-z)]dx
(1) xÎ
Cr.
имеет место равенство: 1/(x-z)
= 1/(x-z0-z+z0)
= [1/(x-z0)]*[1/[(z-z0)/(x-z0)]]
(2) И пусть (z-z0)=r
Тогда (z-z0)/(x-z0)
= r/r
< 1 для "xÎCr
Þ
Выражение (2) есть сумма геометрической
прогрессии 1/(x-z)
= k=0å¥(z-z0)/k!]
k=0å¥[(z-z0)k/(x-z0)k+1(3). Ряд справа в (3) сход на окружнсти Cr т.к. [(z-z0)k/(x-z0)k+1]1/k=q<1. По этому его можно почленно интегр. Умножим обе чати (3) на f(x)/(2pi) которая ограничена на Cr. Результат проинтегрируем по Cr почленно: (1/2pi)Crò[(f(x))/(x-z)]dx = k=0å¥[(1/(2pi) Crò[(f(x))/(x-z0)k+1]]dx*(z-z0)k (4) или согласно (1) можно записать:
f(z) = k=0å¥[Ck*(z-z0)k] где Ck = [(1/(2pi) Crò[(f(x))/(x-z0)k+1]]dx = (f(k)(z0))/(k!) (5). #
Док-во единственности:
Пусть f(z) = k=0å¥[bk*(z-z0)k], bk = (f(k)(z0))/(k!) k=1,2,3… ##