
1. Предел последовательности комплексных чисел. Теорема о связи предела последовательности комплексных чисел с последовательностями действительных чисел.
Опр1. Окр-тью(ε-окр) т.Z0ÎС, наз. круг |z-z0|<ε. U(z0,ε) – окр. т.z0 радиуса ε.
Опр2. Окр-тью (R-окр) т.z=∞ÎC наз. мн-во всех точек zÎČ для которых |z|>R, 0≤R<+∞. Обозн. U(∞,R).
Опр3. Пусть {zn}послед чисел zn=xn+iynÎC. Число z0=x0+iy0, z0¹∞, наз-ся пределом послед-ти zn при n®∞, если: "ε>0 $N(ε): "n≥N: |zn-z0|<ε. lim(zn)=z0 при n®∞, lim(zn)=0 при n®∞.
Опр4. ∞ есть предел послед-ти {zn}, если "R>0 $N(R):"n≥N |zn|>R.
Теор1. Сущ-е предела lim(zn)=z0=x0+iy0 при n®∞ (1) эквив-но сущ-ю двух пределов lim(xn)=x0 при n®∞ lim(yn)=y0 при n®∞ (2).
Док-во: Пусть выполн. (1). Тогда |xn-x0|<|zn-z0|, |yn-y0|≤|zn-z0|, |xn-x0|≤[(xn-x0)2+(yn-y0)2]1/2=|zn-z0|.
Если выполн. "n≥N: |zn-z0|<ε, то "n≥N: |xn-x0|<ε1, |yn-y0|<ε2 => выполн усл-е (2).
Обратно из (2)=>(1), т.к. |zn-z0| =[(xn-x0)2+(yn-y0)2]1/2, |xn-x0|<ε1, |yn-y0|<ε2.
Пусть ε=max(ε1,ε2), то |zn-z0|<[ε2+ε2]1/2=εÖ2.■
Замеч: Из Т1 =>, что теория пределов последовательностей действ. чисел может быть перенесена на компл. числа.
В частности имеет место Т2 Критерий Коши: Для того, чтобы {zn} имела конечн. предел (была сходящ) необх. и дост., чтобы "ε>0 $N(ε): "n≥N и"m≥N: |zn-zm|<ε. Или "pÎN: |zn+p-zn|<ε. РИС2
2. Предел функции. Теорема о связи предела функции комплексного переменного с пределами функций действительного переменного. Непрерывность. Равномерная непрерывность.
Функции компл. переменного.
Опр. Закон f-1 по котор. " образу wÎEw ставится в соотв-е одно или несколько его прообразов zÎЕz наз-ся ф-цией z=f-1(w) обратной по отнош. к w=f(z).
Замеч: Re[f(z)]=Re[f(x+iy)]=U(x,y); Im[f(z)]=V(x,y). Т.о. w=f(z)=U(x,y)+iV(x,y).
Задание f(z) равносильно заданию двух ф-ций от двух действ. переменных U(x,y) и V(x,y).
Предел функции, непрерывность.
Опр1.(Коши) Пусть w=f(z) задана на EzÎCz и z0 – предельная точка этого мн-ва.
а) Число w0≠∞ наз. пределом ф-ции f при z→z0, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎEz: 0<|z-z0|<δ=>|f(z)-w0|<ε. lim(f(z))=w0 при z→z0.
б) ∞ есть предел f(z) при z→∞, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎEz: |z|>δ=>|f(z)|>ε. lim(f(z))=∞ при z→∞.
Опр (Гейне) Число w0≠∞ есть предел f(z) при z→z0, если "{zn}:("n: zn≠z0;znÎE;z→z0): {f(zn)}→w0.
Замеч. Опред. пределов по Коши и по Гейне эквив-ны. Без док-ва!■
Тh3(эквивалентности). Сущ-е предела (при z→z0) lim(f(z))=w0=a+ib эквивалентно сущ-ю limU(x,y)=a (при x→x0, y→y0); и limV(x,y)=b (при x→x0, y→y0), где z0=x0+iy0; f(z)=U(x,y)+iV(x,y).
Док-во: аналогичн. соотв. Т о послед. пределов.■
Т.о. св-ва пределов ф-ций действ. перем. переносятся на св-ва пределов ф-ций комплексн.перем.
Опр2. Ф-ция f(z), опред. на E непр. в z0ÎE, если:
1) f(z) определена в некот. окрестн. т.z0,
2) сущ-ет lim(f(z)) (при z→z0),
3) lim(f(z))=f(z0) (при z→z0).
Опр3. Ф-ция наз-ся непрерывн. на мн-ве E, если она непр. в " точке E.
Равномерная непрерывность.
Опр4. f(z) наз-ся равномерно непр. на мн-ве E, если: "ε>0 $δ>0: "z'ÎE и "z''ÎE: |z'-z''|<δ=>|f(z')- f(z'')|<ε.
Тh Кантора: Ф-ция, непр. на замкн. мн-ве, равномерно непр. на этом мн-ве.
Док-во: Следует из Th действит. анализа и из Th3.
3.Производная ФКП. Дифференцируемость и дифференциал. Критерий дифференцируемости.
Производные
Пусть ф-ция w=f(z) опред. на некот. открыт. мн-ве DÎC с предельн. точкой z0ÎD. Если $ lim((f(z0+Δz)-f(z0))/Δz) (при Δz→0) (1) при произвольн. стремлении Δz к нулю, то этот предел наз-ся производной ф-ции f в т.z0. Обозн: f '(z0); df(z)/dz |z=z0. При этом ф-ция f наз-ся моногенной в т.z0.
Дифференцируемость и дифференциал.
Пусть однозначная ф-ция опред-на на мн-ве DÎC и т. z0ÎD предельная точка. Ф-ция f (w=f(z)) наз. диф-мой в т.z0, если её приращение в т.z0 можно представить в виде Δw=Δf(z0)=f(z0+Δz) – f(z0)=AΔz+α(z0, Δz) (2), где A=A(z0)=const.; α(z0, Δz)=о(|Δz|),т.е. lim(α(z0, Δz)/Δz)=0 (при Δz→0). (3); Δz=Δx+iΔy; |Δz|=[Δx2+Δy2]1/2.
Опр. Главн. лин. относит. Δz часть приращ. ф-ции w=f(z) в т.z0 наз. диф-лом ф-ции f в т.z0 и обозн. символом df(z0) или dw=df(z0)=A(z0)Δz (4).
Тh. Для того, чтобы ф-ция f была диф-ма в т.z0 необх. и дост., чтобы она была моногенной.
Док-во: 1)Необх.
Пусть w=f(z) диф-ма в т.z0. Тогда Δw=AΔz+о(|Δz|). След-но (при Δz→0) lim(Δw/Δz)=A+(о(|Δz|)/Δz)=A=f '(z0).
2) Дост.
Пусть f(z)=w моногенна в т.z0. Тогда по опред. моногенности (f(z0+Δz)-f(z0))/Δz=A+β(z0+Δz).
Отсюда получим: (5) f(z0+Δz)=AΔz+β(z0,Δz)Δz. (β(z0,Δz)Δz=о(|Δz|) при Δz→0). Это означ, что f диф-ма в т.z0.■
Замеч: 1) Из соотн (5) следует, что в случае моногенности ф-ции f в т.z0, f явл. непр. в этой точке (т.к. Δf→0 при Δz→0). Обратное неверно.
2) Из этой Th следует, что df(z0)=f '(z0)Δz.
3) Ф-ция f(z)=z моногенна всюду на C, т.к. f '(z)=lim(Δz/Δz)=1 при Δz→0.
4) dz=1·Δz => dz=Δz; df(z0)=f '(z0)dz (6); f '(z0)=df(z0)/dz
4. Условия Коши-Римана (C-R). Необходимые и достаточные условия моногенности(диф-ти) ФКП. Определение аналитической функции в области и в точке.
Th. Пусть f(z)=w=U(x,y)+iV(x,y) опред. в нек. окр-ти и в самой т.z0. Для того, чтобы эта ф-ция была диф-ма в т.z0, необх. и дост. чтобы ф-ции U и V были диф-мы в т.z0=(x0,y0) и чтобы в этой точке выполнялось условие Коши-Римана(C-R) (1): { ∂U/∂x=∂V/∂y; ∂U/∂y=-∂V/∂x.
Док-во:
1) Необх.
Пусть ф-ция f диф-ма в т.z0. Тогда Δf(z0)=ΔU+iΔV=f '(z0)Δz+ō(Δz).
Пусть f '(z0)=B+iC, а ō(Δz)=ō1(Δz)+iō2(Δz), B,CÎR; ō1(Δz),ō2(Δz) – функ.действ. переменных б.м.
Тогда ΔU+iΔV=(B+iC)(Δx+iΔy)+ō1+iō2 (2)
(3) { ΔU=BΔx+CΔy+ō1; ΔV=CΔx+BΔy+ō2.
Это означ., что ф-ции U и V диф-мы в т.z0=(x0,y0). Из рав-в (3) вытекает, что
(4) {B=∂U/∂x=∂V/∂y; C=-∂U/∂y=∂V/∂x.
Т.о. выполн. усл-я C-R(1).
2) Дост.
Пусть U и V диф-мы в (x0,y0) и выполн. (1). Тогда справедл. рав-ва (3). След-но справедл. соотн. (2). Это означает, что Δf(z0)=(B+iC)Δz+ō1+iō2. Это означ, что w – диф-ма в т.z0=(x0,y0).■
Замеч: 1) В частн. усл-я Th выполн., если ф-ции U и V имеют непр. частн. произв. в (x0,y0) и выполн. усл-е C-R.
2) Если ф-ция диф-ма, то произв. можно считать по любому направлению. Если Δz=( Δx,0)
Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ Δx= Δu/Δx+i(Δv/Δx) -> ∂u/∂x+i(∂v/∂x)= f '(z0); Если Δz=( 0, Δy)
Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ iΔy= -i(Δu/Δy)+(Δv/Δy) -> -i(∂u/∂y)+∂v/∂y= f '(z0)
3) Если z=r·eiφ {x=r·cosφ; y=r·sinφ.
f(z)=U(r,φ)+iV(r,φ).
(4)(C-R) { ∂U/∂r=∂V/(r·∂φ); ∂U/(r·∂φ) =-∂V/∂r.
Аналитические ф-ции.
Если w=f(z) однозн. в обл. D и диф-ма в этой обл., то она наз-ся аналитичн. в этой области, а также регулярной и голоморфной.
Понатие ф-ции, аналитичн. в точке.
Говорят, что ф-ция f(z) аналитичн. в т.z0, если она аналитична в некот. окр-ти этой точки.
Замеч: Условия диф-ти и аналитичности ф-ции f(z) в области совпадают, однако усл-я аналитичности в точке содержат больше требований, чем усл-я диф-ти.
Замеч: 1) Ф-ция w(z)=U(x,y)+iV(x,y) аналитичн. в обл. D <=> когда: а) Ф-ции U и V диф-мы в обл-ти D. б) Выполн. условие C-R
2) Если ф-ции f(z) и φ(z) – аналит. в обл-ти D, то также в этой области аналит-ны ф-ции: f ± φ; φ·f; f/φ (φ≠0).
3) Если w=f(z) аналит. в обл. D и w=φ(w) аналит. в обл. D и имеет смысл сложная ф-ция w=φ(f(z)) опр. в обл. D, то эта ф-ция аналит. в обл. D, что следует из того, что w'z= φ'(w)·f '(z).
5. Геометрический смысл аргумента производной.
Пусть задана гладкая кривая Жордана γ, кот. опред. соотн. z=x(t)+iy(t), α≤t≤β.
γ: {x=x(t); y=y(t). α≤t≤β.
Причем z0Îγ; z0=z(t0), t0Î(α,β). z0 – внутр. точка этой кривой. Т.к. дуга гладкая, то z'(t0)≠0. {есть рис.}
Пусть задано отобр. w=f(z) и пусть Г - образ γ при этом отображении. Мы также потребуем, чтобы отобр. f было аналитично в т.z0. и f '(z0)≠0. Тогда Г будет иметь вид: w=f(z(t)) и w'= f '(z0)·z'(t)≠0. (1)
Из ф-лы (1) видно, что Г имеет касат. в т.w0=f(z0). Т.к. при перемножении ФКП аргументы складываются, то из (1) следует, что arg(w'(t0))=arg(f '(z0))+arg(z'(t0)); arg(f '(z0))=arg(w'(t0))- arg(z'(t0)) (2) q=y-j.
Здесь q - угол поворота дуги γ в т.z0 при отображ. w=f(z). Отсюда вытекает след. геом. смысл производной: Аргумент производной f '(z0) равен углу поворота дуги γ в т.z0 при отображ. w=f(z).
Пусть теперь γ1 – некот. гладкая кривая Жордана, не совпад. с γ, а Г1 – образ γ1. Пусть отображение – то же самое.
Тогда согласно (2): arg(f '(z0))=arg(w1'(t0))-arg(z1'(t0)) (3) и согласно (2) и (3) имеем: arg(w'(t0))-arg(z'(t0))=arg(w1'(t0))-arg(z1'(t0)) (4). Соотн. (4) означает, что угол между дугами γ и γ1 в т.z0 – т. пересеч. γ и γ1 – равен углу между их образами Г и Г1 в т.w0. {есть рис}
Если f(z) – аналитична в нек. окр-ти т.z0. и f '(z0)≠0, то при отображении w=f(z) имеет место закон сохранения углов между кривыми, проходящими через т.z0, как по величине, так и по направлению их отсчета. РИС
Геометрический смысл модуля производной
Рассм. те же условия и кривые: (Вопрос 5)
| d z0| = [ [x’(t0)]2 + [y’(t0)]2 ]1/2 dt = ds0, | d w0| = [ [U’(t0)]2 + [V’(t0)]2 ]1/2 dt = dS0.
| f ’(z0)| = (|dw/dz|) |z= z0 = (d S0)/(d s0) (5)
ǽ= (d S0)/(d s0) - есть коэф.-нт лин. растяж. дуги γ в т. z0 при отображ. w = f(z). т. е. геом. смысл модуля производной заключен в том, что |f ‘(z0)| = коэф.-нту лин. растяж. дуги в т. z0 при задан. отобр. Это локальн. коэф. растяж. и он не зависит от направления.
6. Конформное отображение
Опр. Непр. в некот. окр. т. z0 отображ. w =f(z) наз. конформным, если оно сохраняет углы между кривыми, проход. через эту точку и локальн. коэф-нт ǽ в т. z0 одинаков по всем напрвл.
Опр. Отобр. конформно в обл. если оно конформно в кажд. т. этой обл-ти.
Замеч. Из предыдущ. след., что если ф-ция анал. в некотор. обл. т. z0 и f ’(z0) ≠0, то f(z) – конформно отобр. нек. окр. т. z0.
Основные теоремы теории конформных отображений
Тh1. О сохранении области
Если ф-ция w =f(z) – аналитична в однолистна в области D, но f ’(z) ≠0 и w =f(z) – кон-формно отобр. некот. обл. D на G. Причем обратн. ф-ция Z=f -1 (ω) аналитич. в области G.
Тh2. Римана.
Пусть граница односвязн. области D Э Cz сост. более, чем из 1 точки тогда существ. аналит. функции., которые отобр. обл. D на внутренность единичн. круга, причем только 1-на из этих ф-ий переводит задан. т. z0 Э D и выходящее из нее задан. направление в задан. точку w0 и выходящ. из нее задан. напрвление.
Th3. О соответствии границ.
Пусть D и G – две обл.-ти, огранич. замкнт. кривыми Жордана ∂D; ∂G соответственно. Если ф-ия f комформно отображ. D на G , то она взаимнооднозначно и непрерывн. отобр. обл-ть D* = D U ∂D ; G* = G U ∂G; с сохран. напрвл. обхода границ.
Тh4. О взаимоодназначн. соотвествии
Пусть G и D - 2 одинаковые обл-ти, огранич. замкнт. кусочно-гладк. кривыми Жордана ∂D и ∂G соотв. Если аналит. в обл. D ф-ии взаимоодназ. и непр. отображ. ∂D и ∂G c сохр. обхода, то эта ф-ия конформно отобр. обл. D и обл. G. РИС2
7. Линейные отображения
w=a*z+b , a≠0, a,b Э C (1)
w’=( a*z+b) ’=a ≠ 0.
a = α1 + i*α2
b = β1 + i*β2.
U + i*V = (α1 + i*α2)(x + i*y) + β1 + i* β2
{ U = α1x + β1 – α2*y ; V = α2*x + β2 – α1*y.
J = | (Ux)’, (Uy)’; (Vx)’, (Vy)’ | = | α1, - α2; α2 , α1| = α12 + α22 = | α1 + i*α2 |2 = |a|2 ≠ 0
Следн-но это отображ. конформное .
Рассм. обр. отображ. z = (w-b)/a = (1/a) w – b/a ; a ≠0.
Данное отображ.(прямое и обратное) конформно на С (рассматриваемая комплексная плоскость).
Понятии конформ. в т. z = ∞
Опр. Однолистное в окр. т. z = ∞ отображ. w =f(z) конформно в т. z = ∞, если при замене z = 1/ξ отображ. w=f(1/ξ) = φ(ξ) конформно в т. ξ=0
Проверим конформность лин. отображ. в т. z = ∞.
z = 1/ξ , ω=1/η, тогда в окр. z = ∞ и ее образ w = ∞ → ξ=0; η=0.
η= ξ/(a+b*ξ) , η’=a/(a+b*ξ)2 , (η’ | ξ=0) = 1/a ≠0
Отобр. (1) w=a*z+b можно предств.
a = |a|eiӨ (2) ;z=reiγ ; az = |a|eiӨ reiγ
w1-это отображение подобия с центром в точке z=0.
w2= exp(i *arg(a)) w1 (3) - это вращ. вокруг точки w=0 на угол arg(a)
w = b+ w2 – парал. Перенос РИС
8. Дробно-линейные отображения и его свойства
w=(a*z+b)/(c*z+d) , a/c≠b/d (8) a, b, c, d Э C, c≠0.
w=A+B(1/z+ z0) (9) , A, B, z0 Э C
Дробн.- лин. отобр. свод. к след. 3-м суперпозиц.:
-
w1=z+ z0 – парал. сдвиг (10)
-
w2=1/w1 – инверсия отн. окр. радиуса 1 (11)
-
w=A+Bw2 – лин. отображ. (12)
Исходя из 3-х послед. формул – Д.Л.О. окр. перев. в окружн.
Св-ва Д.Л.О :
-
Из ф-л (10)-(12) непосредств. следует:
а) отобр. (8) осущ. взаимноодн. отобр. плоскости С*z на C*w
б) суперпоз. 2-х Д.Л.О, а также обратное отображ. явл-ся снова Д.Л.О
Для док-ва суперпоз.-ии нужно подст. z=(a1z1+b1)/(c1z1+d1) и мы снова получ. Д.Л.О
-
Двойное отношение 4 точек
Опр. Двойным отнош.(ангармоничным) отношением 4х точек z1,z2…z4 наз. выраж.
(z1 z2 z3 z4)=[( z1- z3)/( z2- z3)]/[( z1- z4)/( z2- z4)]
-
При Д.Л.О двойное отношение 4-х попарно различн. точек не изменяется
т.е. если zi→ wi с помощью Д.Л.О, то:
[(w1- w3)/( w2- w3)]/[( w1- w4)/( w2- w4)] = [(z1- z3)/( z2- z3)]/[( z1- z4)/( z2- z4)] (13)
Док-во: схема:
Пусть точки z1z2z3z4 Э C*z ф-ией w=(a*z+b)/(c*z+d) отображ.-ся в точки wk=(a*zk+b)/(c*zk+d), где k=1…4
Подст. в ф-лу (13) выраж. для разностей wi- wj = (a*zi+b)/(c*zi+d) - (a*zj+b)/(c*zj+d) =
= [(a*d-b*c)(zi-zj)]/[(c*zi+d)*(c*zj+d)]; i=1,2 j=3,4.
После алгебр. преобраз. мы получим:
прав. часть ф-лы (13)
Следствия:
Сущ. единст. Д.Л.Функция, отобр. одну расширенную комплекс. плоск. на другую так, чтобы произвольн. заданные три различ. точки 1-ой плоск. перешли соотв. в произ. задан. 3-и различн. точки 2-ой плоск.
Док-во:
Фикс. три точки z1 , z2 , z3 Э С*z и w1… w3 Э С* ω
Пусть w=g(z) – искомая Д.Л.Ф-ия, которая точки z1… z3, а также произв. точки zÎC*z переводит соотв. в т. w1… w3 и w Î С*w. Тогда по св-ву (3) имеем:
[(w1- w3)/(w2- w3)]/[(w1- w)/(w2-w)] = [(z1- z3)/( z2- z3)]/[( z1-z)/( z2-z)] (14)
(w- w1)/(w-w2) = ( [(w1- w3)/(w2- w3)]/ [(z1- z3)/( z2- z3)] ) (z1-z)/( z2-z) (15)
Выразим отсюда w, найдем, что эта ф-ла однознач. опр. иск. ф-ию w=g(z) , где g- Д.Л.Ф-ия. След-но (14) – отобр. точки z1… z3 в т. w1…w3.
-
Круговое св-во.
Д.Л.О отобр. перев. окружн. в окружн. Под окружностью также понимается и прямая, как окр.бесконеч. радиуса.