1.4. Теорема сложения вероятностей

Часто возникает необходимость ответить на вопрос о том, чему равна вероятность появления одного из нескольких несовместимых событий, если вероятность каждого отдельного события известна. Ответ на такой вопрос дает теорема сложения вероятностей.

Теорема. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий.

Пусть дана система¹⁾ из п событий , причем k исходов испытания благоприятствуют наступлению события А, а другие (так как события несовместимы) l исходов благоприятствуют наступлению события В .

Определим при этих условиях вероятность наступления какого-нибудь одного из двух событий: или А, или В.

Появлению события А благоприятствуют k исходов;

Появлению события В благоприятствуют l исходов;

Появлению одного из двух событий — или А, или В — благоприятствуют k+l исходов; значит, Р (или А, или В)

Так как , то это значит, что

Наши рассуждения, проведенные для двух несовместных событий, не изменятся и для любого другого числа несовместных событий.

Пример 4. Поездка пассажира с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживается трамваями маршрутов № 3 и 11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев, курсирующих через данную остановку, имеется 8 трамваев маршрута № 3 и 10 трамваев маршрута № 11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту. При этом имеется в виду, что из трамвайного парка еще не проходил ни один трамвай.

Решение. Вероятность появления трамвая № 3 а вероятность появления трамвая № 11 Поэтому

Применение теоремы сложения требует проверки несовместимости рассматриваемых событий.

Пример 5. В состав исполнительного органа добровольного общества избрано 20 человек. Из них 15 человек по своему возрасту старше 30 лет, а 9 человек старше 40 лет. Какова вероятность того, что избранный путем жеребьевки председатель окажется по своему возрасту либо старше 30 лет, либо старше 40 лет?

Решение. Вероятность того, что председатель по своему возрасту старше 30 лет — , а вероятность того, что он старше 40 лет —

Если бы мы пользовались теоремой сложения, то получили бы

Но такой результат лишен смысла, так как вероятность никакого события не может превышать 1, а это значит, что теорема сложения применена здесь неправильно. В самом деле, сложением охвачены вероятности совместимых событий, так как человек в возрасте свыше 40 лет является тем самым старше 30 лет. Поэтому искомая вероятность определяется значением без применения теоремы сложения.

Теорема сложения позволяет установить соотношение между вероятностями двух противоположных событий.

Обозначая вероятность события А через Р(А)= р и вероятность противоположного А события через , заметим, что наступление одного из двух противоположных событий в любом испытании достоверно. Поэтому . Вместе с тем по теореме сложения имеем

Следовательно, .

Отсюда, зная, что , всегда имеем Применим теорему сложения к понятию полной системы событий. Система несовместимых событий называется полной, если события, входящие в данную систему, являются единственно возможными. Это значит, что любой исход испытания имеет своим результатом наступление события только из числа входящих в систему. Поэтому наступление какого-либо из этих событий достоверно, т. е.

С другой стороны, несовместимость событий позволяет применить теорему сложения:

Отсюда

т. е. сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.