6.2. Анализ повторных парных наблюдений с помощью знаковых рангов (критерий знаковых ранговых сумм Уилкоксона)

Если можно дополнительно предположить, что случайные величины из предыдущего пункта непрерывны и одинаково распределены, то для проверки гипотезы однородности можно применить более мощный критерий, основанный на статистике Т знаковых ранговых сумм Уилкоксона.

Метод. 1. Вычислим абсолютные разности . Пусть R_i обозначает ранг в совместном упорядочении от меньшего к большему.

2. Определим переменные , где

3. Вычислим наблюденное значение , далее мы будем называть его .

4. Для одностороннего критерия для проверки против правосторонней альтернативы на уровне значимости :

• отклонить Н, если

• принять Н, если

где критическое значение удовлетворяет уравнению и может быть найдено по соответствующей таблице.

Для одностороннего критерия для проверки той же гипотезы против левосторонней альтернативы на уровне значимости :

• отклонить Н, если

• принять Н, если

Для двустороннего критерия для проверки той же гипотезы Н против двусторонних альтернатив на уровне значимости 2:

• отклонить Н, если или

• принять Н, если

Замечание. Поскольку распределение статистики Т дискретно, уравнение, определяющее имеет точное решение не для всех значений  (при фиксированном п). Поэтому либо в качестве придется взять приближенное решение, либо изменить  так, чтобы уравнение можно было решить точно.

Приближение для большой выборки. При выполнении гипотезы Н статистика

имеет асимптотическое (при ) распределение N(0, 1). Приведем приближение нормальной теории для проверки Н, для определенности, против правосторонней альтернативы: Н отклоняется, если , в противном случае Н принимается. Здесь — квантиль уровня стандартного нормального распределения N(0, 1). Остальные правила трансформируются аналогично.

Совпадения. Если среди значений есть нулевые, то их следует отбросить, соответственно уменьшив п до количества ненулевых значений z_i. Если среди ненулевых значений есть равные, то для вычисления Т надо использовать средние ранги для величин и далее использовать те же методы, что и без совпадений. Для приближения для больших выборок рекомендуется в формуле для вычисления T^* значение DT заменить на

где g — число связок, — их размеры. Определение связок смотри в разделе 5.2 при обсуждении статистики W^*.

Список использованной литературы

1. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистике. Маркович Э. С. – М., «Высш. школа», 1972.

2. Статистический анализ данных на компьютере. Тюрин Ю. Н. и Макаров А. А. – М., «ИНФРА-М», 1998.

Список рекомендуемой литературы

1. Что могут дать обществоведам современная статистика и статистическая логика? Григорьян Э. Р. – М., // Статистические методы в общественных науках. С. 5 – 29., 1982.

2. Математические методы в социальных науках: Сб. статей / Под ред. П. Лазарсфельд и Н. Генри. - М.: Прогресс, 352 с., 1973.

3. Логика прикладного статистического анализа. Елисеева И. И., Руковишников В. О. – М.: Статистика, 192 с., 1982.

4. Как правильно пользоваться статистикой. Г. Кимбл. – М.: Финансы и статистика., 295 с., 1982.

5. Математические методы в социологическом исследовании. М.: Наука., 335 с., 1981.

6. Проверка статистических гипотез. Э. Леман. – М.: Наука., 408 с., 1979.

7. Достоверность статистических показателей. Эдельгауз Г. Е. – М.: Статистика, 278 с., 1977.

8. Математические методы обработки обработки статистической информации с помощью ЭВМ. Репин С. В., Шеин С. А.: Пособие для исследователей гуманит. спец. – Мн.: Университетское, 128 с., 1990.

1⁾ Игральной костью называется кубик с круглоотточенными вершинами, на каждой грани которого помещены кружочки. На одной грани этого кубика находится один кружок, на другой — 2, на третьей — 3, на четвертой — 4, на пятой — 5 и на шестой — 6.

1⁾ Имеется в виду, что эта система удовлетворяет условиям, установленным в предыдущем параграфе.

1⁾ По смыслу вероятности совместного наступления двух событий ясно, что она должна быть симметрична относительно А и В. Поэтому , или

Это свойство легко проверить на примере 8, если искать вероятность появления белого и небелого шаров. В самом деле, обозначая через А появление белого шара и через В — небелого, имеем;

а) при появлении сначала белого шара

б) при появлении сначала небелого шара

1⁾ Здесь Р_2,3 обозначает вероятность появления события А два раза при трех повторных испытаниях. Соответственно Р_m,n будет обозначать вероятность появления т раз события А при п повторных испытаниях.

1⁾ Если при таком же значении п=5 требуется найти вероятность того, что число взошедших семян меньше 4, т. е. вычислить Р(m < 4), то непосредственное суммирование связано с отысканием по формуле Бернулли четырех слагаемых, что является слишком громоздкой операцией. Использование того, что Р(т < 4)+Р(m  4) = 1, позволяет проще найти искомую вероятность с помощью вычитания: Р(т < 4) = 1  Р(m  4). Такой прием вычисления выгоден в ряде примеров.

1⁾ Эта формула называется асимптотической, так как она тем точней, чем больше .

2

²⁾ Впервые формула такого вида была получена для случая в 1730 г. Муавром, а обобщение ее для любого было проведено Лапласом. Поэтому правильней было бы называть эту формулу локальной теоремой Муавра — Лапласа.

3⁾ При наличии специальных таблиц с логарифмами факториалов отпадает необходимость преобразования выражения .

1⁾ Здесь для большей наглядности приняты различные масштабы по осям.

1⁾ Практически вместо непосредственного вычисления по этой формуле следует пользоваться таблицей значений функции Пуассона.

1⁾ Эти соотношения между a и b и соответствующими им числами  и  будут применяться ниже при решении задач с помощью этой теоремы.

1⁾ Иногда говорят также «интегральный закон распределения»

1⁾ Действительно

1⁾ Нумерация значений случайной величины обычно дается в порядке их возрастания.

1⁾ Случайные величины называются попарно независимыми, если для любых i и j (от 1 до п) случайные величины и независимы.

1⁾ Рамки настоящего курса не позволяют дать полное содержание этого закона, но и изложенные предложения могут быть использованы для их практического приложения.

1⁾ Вместо  здесь использован символ , принятый для обозначения ошибки репрезентивности как предела отклонения .

2⁾ Здесь  — средняя ошибка репрезентативности при определении средней признака в случае повторной выборки.

1⁾ Полученное из наблюдения распределение случайной величины Х позволяет определить для каждого значения х частость всех значений Х < х. Обозначая эту частость в виде [здесь т(х) — число наблюдений, в которых Х < х, а п — число всех наблюдений], можно выразить эмпирическую функцию распределения в виде .

1⁾ При вычислении значений для точности и удобства подсчетов исходим из того, что .

1⁾ При вычислении значений для большей точности и удобства подсчетов исходим из того, что

.

1⁾ К слову сказать, теория движения Луны должна быть очень точной, ибо у нас (у человечества) есть очень мощные возможности ее проверки — Лунные и Солнечные затмения, сведения о которых сохранились в истории за многие тысячелетия. Теория должна не только достаточно точно предсказывать даты близящихся затмений (что относительно нетрудно), но и рассчитывать эти даты на много веков назад и получать при этом верные результаты. Такой точности добиться нелегко.

83