6.4. Упрошенный способ вычисления коэффициента корреляции

Выше в п.п. 6.2 и 6.3, при составлении уравнений прямых регрессии либо по данным корреляционной таблицы непосредственно вычислялись коэффициенты регрессии, либо по тем же данным предварительно вычислялся коэффициент корреляции. В обоих случаях вычисления были очень громоздкими (операции с многозначными числами).

Между тем при постоянных разностях для рассматриваемых в таблицах значений х и у (в табл. 1 и , а в табл. 6 и ) можно заметно упростить вычисления, используя линейное преобразование переменных по формулам: и

где и — произвольно выбираемые значения из заданных значений переменных х и у, а и и v — новые переменные.

Так, для рассматриваемых значений х и у в табл. 1 можно провести преобразования

и ,

при которых соответствие между значениями х и и, а также между y и v отражено в табл. 8а и 8б.

Если же применяются преобразования

и ,

то получается другое соответствие (см. табл. 8в и 8г).

Таблица 8

а			б			в			г
х	и		y	v		x	u		y	v
25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10		13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11		25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5		13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Преобразования второй серии обеспечивают большее упрощение вычислений, так как в этом случае все операции ведутся с меньшими по абсолютной величине числами.

Для обоснования этих линейных преобразований

и

можно показать, что операции над переменными х и у, связанные с вычислением коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии, сводятся при этих преобразованиях к аналогичным операциям над новыми переменными и и v.

Прежде всего следует заметить, что средним значениям х и у соответствуют средние значения переменных и и v:

Отсюда, при зависимости будет и

Таким же образом можно установить, что

, или .

Далее, разность а поэтому

Аналогично устанавливается, что .

Эти результаты показывают, что участвующие в вычислениях средние квадратические отклонения принимают вид и .

Наконец, преобразование разности дает

.

Таким образом, переход к новым переменным дает преобразованную форму коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии:

Для составления уравнений регрессии с помощью новых переменных следует включать в корреляционную таблицу значения этих новых переменных, найденные по формулам:

и .

Удобней всего применять для этой цели исходную таблицу, помещая в ней значения и слева от соответственных значении х, а значения v — над соответственными значениями у. При этом вспомогательный характер значений и и v в таблице обычно оттеняется применением для них мелкого шрифта.

Для иллюстрации тех упрощений, которые достигаются введением новых переменных, используем этот способ на уже рассмотренном примере с распределением растений житняка. В виде значений и переменных х и у выгодней всего используются их средние или ближайшие к ним значения этих переменных. В примере с растениями житняка именно такую замену представляют данные второго преобразования. Поставленные во вторых столбцах табл. 8в и 8г числа получены таким образом: для значений переменной и преобразованием

,

а для значений переменной v преобразованием

.

Вся операция по отысканию параметров уравнений регрессии проводится по отдельным этапам.

1. Корреляционная таблица 1 пополняется значениями и и v.

2. Для отыскания коэффициента корреляции составляется вспомогательная таблица (см. табл. 10) с вычислением ее итоговых данных.

Таблица 9

	v	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
u	y x	13	18	23	28	33	38	43	48	53	58	63	68
-5	25	3	2											5
-4	35		6	4										10
-3	45		1	13	5									19
-2	55		1	2	4	8	1							16
-1	65			1		4	4	2						11
0	75					2	6	6	2					16
1	85							1	5					6
2	95								1	4	1			6
3	105									2	4	1	1	8
4	115										1		1	2
5	125												1	1
		3	10	20	9	14	11	9	8	6	6	1	3	100

3. По данным подсчетов:

Следует заметить, что , а также что формулы преобразования и позволяют: по найденным средним значениям новых переменных

и

сразу получить средние значения старых переменных:

	u					v
5 10 19 16 11 16 6 6 8 2 1	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5	-25 -40 -57 -32 -11 0 6 12 24 8 5	125 160 171 64 11 0 6 24 72 32 25	-5(-23) = 115 -4(-36) = 144 -3(-53) = 159 -2(-26) = 52 -l(-5) = 5 0 111 = 11 218 = 36 333 = 99 410 = 40 56 = 30	3 10 20 9 14 11 9 8 6 6 1 3	-5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6	-15 -40 -60 -18 -14 0 9 16 18 24 5 18	75 160 180 36 14 0 9 32 54 96 25 108
N = = 10					N = 100

Совпадение с данными о значениях и , найденных непосредственным вычислением, подтверждает правильность проведения упрощенных вычислений.

4) Определив значения трех разностей:

можно записать, что и

Отсюда определяется коэффициент корреляции

Коэффициент регрессии у по х

Коэффициент регрессии х по у

Расхождения полученных коэффициентов с результатами непосредственных вычислений относятся к третьим десятичным знакам, что связано с приближенным характером вычислений.