6.3. Коэффициент корреляции

В рассмотренном примере корреляционной связи оба коэффициента регрессии и положительны. В таком случае корреляцию называют положительной, что имеет место при изменении изучаемых количественных признаков в одинаковом направлении (х и у одновременно возрастают или одновременно убывают).

Прямые при положительных коэффициентах регрессии образуют острые углы с соответствующими осями координат (рис. 14) — у прямой регрессии у по х коэффициент регрессии , где  — острый угол, образованный прямой I с осью Ох, а у прямой регрессии х по y коэффициент регрессии , где  — острый угол, образованный прямой II с осью Оу. При отрицательных коэффициентах регрессии прямые регрессии образуют с соответствующими осями тупые углы.

Для большей наглядности на рис. 14 показано положение прямых регрессии относительно новой системы координат с началом в точке пересечения этих прямых.

Рис. 14

Сами по себе значения коэффициентов регрессии не позволяют судить о тесноте связи между х и у. Это зависит от величины угла, образованного прямыми регрессии. Чем меньше этот угол, тел; теснее корреляционная связь между х и у.

При слиянии этих двух прямых в одну имеет место линейная функциональная зависимость между х и у.

В качестве меры тесноты линейной корреляционной связи принимается коэффициент корреляции

со знаком, совпадающим со знаками коэффициентов регрессии. При этом, если прямые I и II совпадают, то и . Но тогда и, следовательно, .

Обращение коэффициента корреляции в 1 или в -1 является, как это можно доказать, необходимым и достаточным признаком. линейной функциональной зависимости между х и у.

Корреляционная таблица в таких случаях состоит из расположенных лишь на одной диагонали частот значений х и у.

Вместе с тем, когда, по крайней мере, один из углов  или  равен нулю, то и , а значит, и между рассматриваемыми величинами не существует ни функциональной, ни корреляционной линейной зависимости. Однако в этом случае между х и у возможны нелинейные корреляционные и даже функциональные связи.

Корреляционная зависимость между х и у (для положительных коэффициентов регрессии) имеет место, когда коэффициент корреляции, как это можно доказать, выражается правильной дробью (0 < r < 1). При этом связь между переменными тем теснее, чем ближе коэффициент корреляции к 1.

Введенное определение коэффициента корреляции в виде позволяет на основании выражений коэффициентов регрессии получить удобную формулу для непосредственного вычисления коэффициента корреляции.

Если обратиться к выражениям коэффициентов прямых регрессии

и ,

то можно заметить, что знаменатели в обоих выражениях обозначают дисперсии соответствующих рядов распределений:

и .

Отсюда можно получить для коэффициента корреляции формулу

,

которая сразу показывает, что между независимыми величинами корреляции не существует, так как для таких величин выполняется равенство .

Замечание. Последнее равенство является приближенным, а поэтому если коэффициент корреляции очень мал , считают, что линейной корреляции между х и у нет.

Записанная выше формула позволяет выразить каждый коэффициент регрессии через коэффициент корреляции.

Так, коэффициент регрессии у по x

,

а коэффициент регрессии х по у

.

Такие выражения коэффициентов регрессии показывают, что составление уравнений прямых регрессии может быть облегчено, если будет найдено значение коэффициента корреляции. Для его вычисления следует использовать выражения числителя и знаменателя:

.

Тогда можно вычислить коэффициент корреляции по формуле

.

Пример 1. В табл. 6 дана группировка 135 сахаропесочных заводов по размеру производственных основных средств в млн. руб. (х) и по среднесуточной переработке свеклы в тыс. ц (у). Требуется определить коэффициент корреляции и составить уравнения регрессии.

Таблица 6

y x	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25	4 5  3  	6 9 4 3  	9 15 6 2 3 	2 10 7 7 3 2	 2 7 8 2 2	 1 1 3 1	  1 2 2	     2	     1	21 42 25 24 13 10
	12	22	35	31	21	6	5	2	1	135

Расположение рядов распределения значений у в табл. 6 позволяет наметить линейную корреляционную связь между х и у.

Для отыскания коэффициента корреляции составим вспомогательную таблицу.

Таблица 7

21 42 25 24 13 10	211,75 422,25 252,75 243,25 133,75 104,25	213,0625 425,0625 257,5625 2410,5625 1314,0625 1018,0625	1,75114 2,25250 2,75171 3,25161 3,75102 4,2593	12 22 35 31 21 6 5 2 1	124 225 356 317 218 69 510 211 112	1216 2225 3536 3149 2164 681 5100 2121 1144	428,00 451,50 683,75 787,75 865,75 921,00 1018,75 118,50 124,25
N=135	369,25	1082,9375	2533,25	135	891	6237	2533,25

Следует пояснить, что вторые множители в четвертом столбце получены из данных табл. 6 суммированием произведений каждого числа внутренней строки на соответствующее значение у (например, 114=44+65+96+27; 171= 45+66+77+87+110).

Так как суммирование этих вторых множителей дает сумму всех значений у, то сумма , и это равенство подтверждает правильность подсчета суммы всех значений у. Аналогична структура вторых множителей в последнем столбце. Например, 28 = 41,75+52,25+33,25. Здесь суммирование вторых множителей дает сумму всех значений х, а потому равенство служит для подтверждения правильности подсчета. Вместе с тем итоговые суммы по четвертому и последнему столбцам являются в то же время суммами всех участвующих в таблице парных произведений ху. Отсюда .

По данным подсчетов имеем:

Отсюда и и коэффициент корреляции

.

Для составления уравнений прямых регрессии определяем коэффициенты регрессии:

Таким образом, уравнение прямой регрессии у по х

или

а уравнение прямой регрессии х по у

или

Сравнение коэффициента корреляции в этом примере с коэффициентом корреляции в ранее рассмотренном примере распределения растений житняка

показывает на большую тесноту связи между, общим весом и весом семян. Это согласуется со структурой соответствующих корреляционных таблиц. Табл. 1 распределения растений житняка характерна четким смещением рядов распределения значений у при малой степени рассеяния этих значений, а табл. 6 по сахаропесочным заводам дает малозаметное смещение рядов распределения значений у при значительной степени рассеяния этих значений.