3.2. Математическое ожидание и его свойства

Характеристика случайной величины в виде таблицы или функции распределения представляет полное задание случайной величины Однако для разрешения ряда вопросов в теории вероятностей и к статистике с успехом применяется более простая характеристика случайной величины - ее среднее значение X, или, что то же, математическое ожидание - М(Х)=а.

Пусть дана таблица распределения случайной величины с конечным числом возможных значений:

			…
			…

Введем следующее определение: средним значением, или математическим ожиданием, случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности:

или

Здесь важно отметить, что , а это показывает, что исчерпываются все возможные значения случайной величины, составляющие полную систему событий.

Пример 4. Проводится беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей, из которых 1 выигрыш составляет 100 руб., 5 выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб. и 184 выигрыша по 2 руб. Определить справедливую цену одного билета, рассчитанную так, чтобы сумма выплаченных выигрышей равнялась сумме, вырученной за продажу билетов.

Решение. Для применения формулы среднего значения случайной величины мы предварительно составляем в соответствии с данными о количестве отдельных выигрышей таблицу распределения:

	2	5	20	100

Поэтому

Таким образом, справедливая цена одного лотерейного билета должна составить 3 руб. 09 коп.

Пример 5. Найти среднее значение числа попаданий в мишень при 6 выстрелах, если дана вероятность попадания при отдельном выстреле

Решение. Распределение случайной величины (числа попаданий X) в этом примере подчиняется биномиальному закону:

	0	1	2	3	4	5	6

После вычисления соответствующих членов биномиального распределения по формуле

имеем

Переходя к основным свойствам математического ожидания случайных величин, введем понятие об их независимости.

Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если законы распределения каждой из них не меняются, когда становится известным, что другая приняла какое-либо одно (безразлично какое) значение.

Примером двух независимых случайных величин могут служить суммы выигрышей по каждому из двух билетов по двум различным денежно-вещевым лотереям.

Здесь ставший известным размер выигрыша по билету одной лотереи не влияет на ожидаемый размер выигрыша и соответствующую ему вероятность по билету другой лотереи.

В виде другого примера независимых случайных величин можно привести данные о числе километров суточного пробега для двух машин из различных гаражей.

Свойство 1°. Математическое ожидание постоянной величины равно этой же постоянной величине.

В самом деле, таблица распределения для постоянной величины С имеет вид:

x	С
P	1

Поэтому

Свойство 2°. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Пусть две случайные величины Х и Y заданы соответствующими таблицами распределения.

Докажем, что .

Рассмотрим простейший случай, когда каждая из случайных величин принимает лишь по два значения:

			и

В этих условиях сумма х+у как случайная величина характеризуется следующей таблицей:

Здесь произведения вида обозначают вероятности соответствующих значений суммы случайных величин Х+Y, так как эти вероятности определяются по теореме умножения вероятностей.

В самом деле, обозначает вероятность того, что и , т.е. имеет место совместное наступление двух событий: 1) случайная величина Х принимает значение и 2) случайная величина Y принимает значение .

Поэтому , где и

Отсюда

Переходя к математическому ожиданию рассматриваемой суммы, имеем

Раскрывая в правой части скобки и группируя слагаемые по каждому значению случайной величины, получаем

Заметив далее, что суммы в каждой скобке определяют соответственные вероятности значений и ¹⁾, имеем

Это свойство можно распространить на любое конечное число слагаемых, т. е.

или

Это свойство справедливо и для независимых, и для зависимых случайных величин, хотя приведенное доказательство применимо лишь для независимых случайных величин.

Пример 6. Проверить свойство 2° для двух независимых случайных величин Х и Y, заданных следующими распределениями:

	3	5	7	и		2	6
	0.3	0.5	0.2			0.6	0.4

Решение. Составляем распределение суммы :

	3+2	3+6	5+2	5+6	7+2	7+6
	0,18	0,12	0,3	0,2	0,12	0,08

Отсюда

Определим теперь математическое ожидание каждой из заданных случайных величин:

Таким образом, 4.8+3.6 = 8.4, чем подтверждается свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Пример 7. Найти математическое ожидание числа т появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна р.

Решение. Здесь число появлений события А в каждом испытании представляет собой случайную величину со следующим распределением:

	1	0
	p	q

Математическое ожидание этой случайной величины в каждом испытании одинаково:

Число т появлений события А в п испытаниях представляет собой также случайную величину, являющуюся суммой случайных величин :

Применяя поэтому к числу т свойство 2° математического ожидания суммы случайных величин, получаем

.

Так как каждое из этих п слагаемых равно р, то или

Заметим, что результат этого примера позволяет сразу находить среднее значение числа т для любого случая биномиального распределения, не прибегая к сложному вычислению, проведенному в примере 5.

В отношении математического ожидания суммы случайных величин применение свойства не связано с вопросом о зависимости или независимости случайных величин. Следующая теорема—о математическом ожидании произведения случайных величин—применима только к независимым случайным величинам.

Свойство 3°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Пусть Х и Y—две независимые случайные величины, таблицы распределения которых даются ниже:

			…		и				…
			…						…

Докажем, что .

Рассматривая XY как случайную величину, мы устанавливаем, что она принимает все значения вида , число которых определяется произведением kl. Вероятность каждого значения произведения находится по теореме умножения вероятностей: .

Поэтому .