СОДЕРЖАНИЕ:

Раздел 1. Элементы теории вероятностей и математической статистики 2

1. Основные определения и теоремы 2

1.1. Предмет теории вероятности 2

1.2. Событие как результат испытания 2

1.3. Частость и вероятность. Классическое определение вероятности 2

1.4. Теорема сложения вероятностей 6

1.5. Теорема умножения вероятностей 7

2. Повторные независимые испытания 12

2.1. Биномиальное распределение вероятностей 12

2.2. Наивероятнейшее число появлений события 16

2.3. Асимптотическая формула биномиального распределения (локальная терема Лапласа). Формула Пуассона 17

2.4. Интегральная теорема Лапласа 20

3. Случайная величина и ее числовые характеристики 24

3.1. Случайная величина и ее распределение 24

3.2. Математическое ожидание и его свойства 28

3.3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 30

3.4. Нормальный закон распределения и понятие о теореме Ляпунова 34

4. Закон больших чисел 36

4.1. Неравенства Маркова и Чебышева 36

4.2. Теорема Чебышева 38

5. Основные сведения из математической статистики 41

5.1. Генеральная совокупность и выборка 41

5.2. Устойчивость выборочных средних 43

5.3. Определение параметров выборки с помощью теоремы Ляпунова 44

5.4. Понятие о доверительных границах для средних 45

5.5. Примеры математической обработки данных выборочного наблюдения 46

5.6. Понятие о критериях согласия 48

6. Элементы теории корреляции 49

6.1. Функциональная и корреляционная зависимости 49

6.2. Линейная корреляция. 52

6.3. Коэффициент корреляции 56

6.4. Упрошенный способ вычисления коэффициента корреляции 59

6.5. Простейшие случаи криволинейной корреляции 61

6.6. Понятие о множественной корреляции 64

Раздел 2. Основы проверки статистических гипотез 65

1. Статистические модели 65

2. Проверка статистических гипотез (общие положения) 66

3. Примеры статистических моделей и гипотез, ранги и ранжирование 68

4. Проверка статистических гипотез (прикладные задачи) 71

4.1. Схема испытаний Бернулли 71

4.2. Критерий знаков для одной выборки 73

5. Проверка гипотез в двухвыборочных задачах 74

5.1. Критерий Манна-Уитни 75

5.2. Критерий Уилкоксона 77

6. Парные наблюдения 80

6.1. Критерий знаков для анализа парных повторных наблюдений 80

6.2. Анализ повторных парных наблюдений с помощью знаковых рангов (критерий знаковых ранговых сумм Уилкоксона) 82

Список использованной литературы 83

Список рекомендуемой литературы 83

Раздел 1. Элементы теории вероятностей и математической статистики

1. Основные определения и теоремы

1.1. Предмет теории вероятности

В окружающей нас жизни приходится сталкиваться с различными явлениями и фактами, наступление которых приписывается случаю, а сами явления и факты называются случайными. Но такое представление связано с единичными явлениями и фактами или с небольшим количеством одинаковых случаев. Когда же рассматриваются массовые количества однородных явлений или фактов, то вскрываются определенные закономерности. Приведем пример.

Данные регистрации рождений в небольшой местности, охватывающие короткий период, не дают устойчивых соотношений между количеством рождающихся мальчиков и девочек. По таким данным нельзя установить, хотя бы приближенно, соотношение между количеством рождений мальчиков и девочек. Но если собрать статистические данные по целой стране за длительный период (несколько десятилетий) и проанализировать их, то выяснится определенная закономерность: на каждую тысячу рождений придется в среднем 515 мальчиков.

Изучение закономерностей однородных массовых случайных явлений составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. Только такой метод, характерный для всех отраслей математических знаний, и позволяет обоснованно устанавливать общие закономерности и положения, которые могут затем применяться уже к достаточно широкому классу явлений. Однако использование законов теории вероятностей на практике возможно при условии тщательной проверки соблюдения основных положений теории вероятностей и при правильной статистической обработке материалов, относящихся к изучаемым массовым явлениям.