Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х₀;х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Р_n(х)+R_n(x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. R_n(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Р_n(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Р_n(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(x).

7. Функции двух переменных. Определение. Геометрический смысл.

Если любой паре упорядоченных чисел (x, y) из некоторого множества D поставлено в соответствие единственное число z, то переменная z называется функцией двух переменных. z = f (x, y). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные x и y – независимыми. Множество D называется областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.

Геометрический смысл – множество значений функции представляет собой некоторую поверхность. Так, с помощью уравнения z=x^2+y^2 мы получим параболоид.

7. Частные производные и производные высших порядков.

Частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Производные высших порядков - . Подобные формулы посмотреть в тетради, там написано понятней.

7. Дифференциал функции двух переменных.

Полным дифференциалом   функции   называется линейная, относительно   и  ) часть полного приращения функции:  .

Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.

7. Дифференцирование неявной функции двух переменных.

Если в уравнении вида   каждой паре чисел   и   из некоторой области соответствует одно или несколько значений  , удовлетворяющих этому уравнению, то уравнение   неявно определяет одну или несколько однозначных функций   от   и  . В этом случае говорят, что   есть неявная функция от  и  .

Частные производные   и   неявной функции находятся по формулам (предполагается, что  ):  

7. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума

Необходимое условие:

Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Достаточное условие:

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. , тогда при : 1) имеет максимум, если дискриминант и , где ; 2) имеет минимум, если дискриминант и ; 3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ; 4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).