Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

1. Яку дію називають інтегруванням?

2. Як розкласти правильний дріб на доданки ?

3. Яка схема інтегрування раціональних функцій?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

1) 2)

3) 4)

1. В інтегралі

2. Інтеграл виду

Отже

3. Інтеграл виду виділенням повного квадрату підкореневого виразу зводиться до видів: при а >0, або при а < 0, які розглядались як табличні («довгий» логарифм, або арксинус).

4. Інтеграл виду зводиться до суми двох

Перший інтеграл типу а другий є не що інше як

( не враховуючи сталих коефіцієнтів що є перед інтегралами)

Приклад. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Враховуючи, що

Послідовно дістаємо:

Приклад. Знайти інтеграл

Розв’язання. Простими перетвореннями зробимо в чисельнику похідну знаменника і розіб’ємо інтеграл на суму двох інтегралів.

Практична робота по темі:

Застосування інтегралів.

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати визначені інтеграли.

Студенти повинні знати: таблицю інтегралів та методи інтегрування, формулу Ньютона-Лейбниця.

Студенти повинні вміти: використовувати визначний інтеграл для розв’язування різноманітних задач.

Література: Л – 1, стор. 362 – 411, Л – 6, стор. 355 – 410 .

Л – 10, стор.140 – 166, Л – 2, стор. 161– 175 .

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

1. Дайте означення визначеного інтеграла?

2. Перерахуйте основні властивості визначеного інтеграла .

3. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу ?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Якщо на відрізку функція , то як відомо, площа криволінійної трапеції обмеженою кривою , віссю та прямими , рівна .

Якщо ж на , то визначений інтеграл . За абсолютною величиною він рівний площі відповідної криволінійної трапеції

Якщо потрібно обчислити площу, обмежену кривими і прямими , за умови, що , то досить обчислити інтеграл

.

Приклад 1. Знайти площу, обмежену кривими .

Розв’язання. Знаходимо точки перетину кривих прирівнюючи функції

Отже враховуючи (7), маємо

Приклад 2. Знайти об’єм тіла обертання, утвореного обертанням еліпса навколо осі.OX

Р озв’язання. Шуканий об’єм рівний . Знайдемо з рівняння еліпса .

Враховуючи (7) об’єм тіла обертання рівний

Приклад 3. Знайти довжину кардіоїди .

Р озв’язання. Спочатку побудуємо кардіоїду, надаючи

значення кута .

Знайдемо . Змінюючи від 0 до , отримаємо половину шуканої довжини Отже, маємо

Практична робота по темі:

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Студенти повинні знати: означення диференційних рівнянь, методи розв’язання таких рівнянь, таблицю інтегралів..

Студенти повинні вміти: розв’язувати рівняння І – го порядку, диференціальні рівняння з відокремленими змінними, однорідні диференційні рівняння.

Література: Л – 1, стор. 421 - 3455 Л – 6, стор. 426 -435 ,

Л – 10, стор.174 -177, Л – 2, стор. 181 – 190 .