35. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть
функция f(x) бесконечно дифференцируема
в некоторой окрестности точки a. Формальный
ряд 
называется рядом Тейлора функции f
в точке a.
В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.
36. Разложение в ряд Маклорена функций ех, sin х, cos х, ln(l+x), (1 + х)а.
Разложение
элементарных функций по степеням x при
x → 0: 
,
где 
.
37. Приложение степенных рядов для решения задачи Коши для ду n-го порядка.
1 способ. (метод неопределенных коэффициентов)
Этот метод наиболее удобен для ЛДУ с переменными коэффициентами.
Пусть требуется решить ДУ:
с начальными условиями:
Предполагая, что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение y = y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:
Коэффициенты определяются при помощи начальных условий:
Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд два раза (в зависимости от порядка ДУ) и подставляем в выражение для функции у и ее производной в уравнение (1), заменив в нем их разложениями.
В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (2) сходится в том же интервале и служит решением уравнения.
2 способ (метод последовательного дифференцирования)
Решение у = у(х) уравнения ищем в виде ряда Тейлора.
При этом первые 2 коэфф. находим из нач. условий
Подставив в уравнение (1) находим третий коэфф.
. Значения …….. находим путем последовательного дифференцирования уравнения(1) по х и вычисления производных при . Найденные значения производных(коэффициентов) подставляем в равенство(3).