29. Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.

Пусть ряд f₁(x), f₂(x),…,f_n(x) (1) – бесконечная последовательность функции непрерывной на некотором промежутке (a;b). Если x=x₀, то можно получить числовую последовательность f₁(x₀), f₂(x₀),…,f_n(x₀) (2), которая может сходиться или расходиться. Совместимость всех значений x, при которых последовательность (1) сходится, называется областью сходимости этой последовательности.

Ряд, членами которого являются некоторые комплекснозначные функции бесконечной функциональной последовательности U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x) = называется функциональным рядом. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x=x₀, если в этой точке сходятся последовательности его частичных сумм x₀: . Совокупность всех значений x, для которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

31. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости.

Последовательность называется равномерно сходящейся {f(x)} на отрезке [a,b], если для любого ε>0 найдется такая n, зависящая от ε N(ε), что при всех значениях и при n>N(ε), выполняется неравенство: |f_n(x)-f(x)|<ε.

Для того, чтобы последовательность функции была равномерно сходящейся на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы ∀ε>0 такой номер, зависящий от ε N(ε), что при номерах n>N(ε) и в любом натуральном числе p неравенство |f_n+p(x)-f_n(x)|<ε выполнялось бы для всех x [a,b].

32. Признак Вейерштрасса.

Пусть выполняется неравенство |a_n(x)|≤b_n, n=1,2,…. Пусть, кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве X абсолютно и равномерно.

32. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

1. Если последовательность функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… непрерывных на отрезке [а, в] равномерно сходится к функции f(x), то функция f(x) непрерывна на отрезке [а, в].

2. Сумма равномерно сходящегося ряда ∑u_n (х) на отрезке [а, в] с непрерывными членами является непрерывной функцией.

3. Если последовательность непрерывных функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [а, в], то числовая последовательность ∫^b_a f₁(x) ; ∫^b_a f₂(x) ; ∫^b_a f₃(x)….. ∫^b_a f_n(x) сходится и ее предел равен∫^b_a f (x).

4. Если ряд ∑u_n (х), где u_n (х)- непрерывная функция на [а, в] равномерно сходится к функции S(x), то ряд составленный из интегралов членов этого ряда

∫^b_a u₁(x)dx + ∫^b_a u₂(x)dx + ∫^b_a u₃(x)dx +…..+ ∫^b_a u_n(x)dx +…. сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку ∫^b_a S_n(x)dx.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… сходится к функции f(x) на отрезке [а, в], а последовательность производных этих функций

f ‘₁(x), f ‘₂(x), f ‘₃(x) ……..f ‘_n(x),… равномерно сходится на этом отрезке, то ее предел равен f ‘(x).

33. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов в действительной области.

Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Апеля: Если степенной ряд сходится при x = x₁ ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно для всех |x|<|x₁|.

Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех |x|>|x₁|.

Свойства:

1.Сумма S(x) степенного ряда

_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ + …

является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).

2.Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

(1)

при –R<x<R выполняется равенство (2)

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (1) –R<a<x<R выполняется равенство (3)

Ряды (2) и (3) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.