12.Функциональные ряды(понятие функционального ряда, мажорируемые ряды)
Определение.
Ряд, членами
которого являются функции от
,
называется функциональным
рядом
.
(1)
При определенных
значениях
функциональный ряд переходит в числовой
ряд
,
(2)
который может быть
как сходящимся, так и расходящимся. Если
полученный числовой ряд сходится, то
точка
называется точкой
сходимости функционального
ряда (1); если же ряд (2) расходится –
точкой
расходимости ряда
(1). Совокупность числовых значений
аргумента
,
при которых функциональный ряд сходится,
называется его областью
сходимости.
В области
сходимости функционального ряда его
сумма
является непрерывной функцией от
.
Функциональный
ряд
называется
мажорируемым
(правильно сходящимся) в
некоторой области
,
если существует такой сходящийся
числовой ряд
с положительными
членами, что для любого значения аргумента
выполняются соотношения
.
Теорема. Пусть функциональный ряд
мажорируем на
отрезке
.
Пусть также
- сумма этого ряда, а
- его
-ая
частичная сумма. Тогда для любого
существует такое положительное число
,
что при
выполняется неравенство
для всех точек
.
Ряды, обладающие
данным свойством, называются равномерно
сходящимися
рядами на отрезке
.
Замечание 1. В силу вышеуказанной теоремы все мажорируемые ряды являются равномерно сходящимися, но не все равномерно сходящиеся ряды мажорируемы.
13. Непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов
Теорема.
Если ряд из непрерывных функций является
мажорируемым в области
,
то его сумма есть функция непрерывная
в этой области.
Замечание 2. может быть непрерывной функцией, даже если функциональный ряд не является мажорируемым.
Теорема. Если ряд , составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке , сходится на этом отрезке к сумме и ряд
мажорируем на этом отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т.е.
.
Замечание 3. Требование мажорируемости ряда производных является достаточным условием почленного дифференцирования ряда.
Теорема. Пусть мы имеем ряд, членами которого являются непрерывные функции
и который мажорируем на отрезке . Пусть - сумма этого ряда. Тогда интеграл от функции в пределах от до , принадлежащих отрезку , равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда
.
14. Степенные ряды(понятие степенного ряда, теорема Абеля, интервал и радиус сходимости ряда)
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды, имеющие вид
,
(3)
где
- коэффициенты степенного ряда. Заметим,
что степенные ряды более общего вида
(4)
где
- некоторое число, с помощью простой
замены
приводится к ряду (3). Очевидно, что точка
является точкой сходимости степенного
ряда (3).
Теорема Абеля.
1. Если
степенной ряд сходится при
,
не равном нулю, то он абсолютно сходится
при всех
,
удовлетворяющих неравенству
.
2. Если степенной ряд расходится при
,
то он расходится при всех
,
удовлетворяющих неравенству
.
Из этой теоремы
следует, что если
,
то во всех точках интервала
степенной ряд сходится абсолютно, вне
этого интервала ряд расходится. Положим
.
Интервал
называется интервалом
сходимости степенного
ряда (3), а число
- радиусом
сходимости
этого ряда. Если степенной ряд сходится
в единственной точке
,
то считается, что
;
если же степенной ряд сходится во всех
точках числовой оси, то
.
Замечание 5. На
концах интервала (
)
сходимость ряда в каждом случае
исследуется отдельно.
Замечание 6. Если
рассматривается степенной ряд общего
вида (4), то интервал сходимости имеет
вид
.
Свойства степенных рядов.
Свойство 1. Степенной ряд, составленный из производных членов ряда (3), имеет тот же радиус сходимости, что и сам ряд (3).
Свойство 2. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
Свойство 3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз.
Свойство 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости.
Свойство 5. Радиус
сходимости степенного ряда (3) можно
найти по формулам:
(следствие признака Даламбера) и
