7. Понятие тензора

Определение. Тензором типа валентности называется объект, который задается в некоторой системе координат набором чисел , преобразующихся по тензорному закону

,

при замене системы координат .

В соответствии с определением вектор является тензором типа , а ковектор - тензором типа . Оба имеют валентность, равную единице.

Можно определить различные операции над тензорами.

1. Сложение тензоров: ( .

2. Умножение тензора на число: ( ).

3. Свертка тензора: (по индексу проводится суммирование).

4. Тензорное умножение: ( ).

Индексы тензора можно поднимать и опускать. Введем метрический тензор . С помощью этого тензора можно опускать индексы: . Числа называются ковариантными координатами вектора, а числа - контрвариантными координатами вектора . С помощью тензора индексы тензора можно поднимать: . Матрицы и связаны соотношением (для симметричных скалярных произведений).

9.Численные ряды(понятие ряда, сумма ряда)

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) .Числовым рядом называется выражение вида

, (1)

где числа называются членами ряда, а число - общим членом ряда. Сумма первых членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается через . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд - сходящимся рядом. Если этот предел не существует или он равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Отметим основные свойства рядов.

1. Отбрасывание или прибавление конечного числа членов к ряду не влияет на его сходимость.

2. Если ряд сходится, и его сумма равна , тогда ряд , где произвольное число, также сходится, причем его сумма равна .

3. Пусть ряды и сходятся, и их суммы, соответственно, равны и . Тогда ряд также сходится, причем его сумма равна .

10. Достаточные условия сходимости рядов(признак сравнения рядов, признак Даломбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши)

1) Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е. . Следовательно, если , то ряд расходится.

2) Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

А) Признаки сравнения.

1-ый признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причем для всех номеров , начиная с некоторого. Тогда:

1. если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2. если ряд расходится, то расходится и ряд .

2-ой признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В) Признак Даламбера.

Пусть ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то рассматриваемый ряд сходится; если же , то – расходится. В случае, если , то ряд может сходиться или расходиться; требуется исследование ряда с помощью других методов.

С) Признак Коши.

Пусть ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то рассматриваемый ряд сходится; если же , то – расходится. В случае, если , то ряд может сходиться или расходиться; требуется исследование ряда с помощью других методов.

D) Интегральный признак сходимости.

Пусть ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на полуинтервале функция такая, что . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно

10. Знакопеременные ряды(абсолютная и условная сходимость)

Ряд, содержащий бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся. Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости знакопеременного ряда можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами. Если ряд сходится, то сходится и ряд . Из расходимости ряда не следует расходимость ряда .

11.Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница)

Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Такие ряды можно записать в виде (или ), где .

Если выполнены два условия:

1) (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

2) ,

то ряд сходится.