
- •4. Группы преобразований векторных пространств.
- •5.Сопряженные пространства, пространства билинейных функционалов.
- •6. Скалярное произведение, вещественное евклидово пространство(скалярное произведение, неравенство Коши-Буняковского, ортонормированный базис, процедура ортогонализации)
- •7. Понятие тензора
- •9.Численные ряды(понятие ряда, сумма ряда)
- •1) Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •2) Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
- •12.Функциональные ряды(понятие функционального ряда, мажорируемые ряды)
- •14. Степенные ряды(понятие степенного ряда, теорема Абеля, интервал и радиус сходимости ряда)
- •15. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- •16.Ряды Маклорена следующих функций
- •18. Ряд Фурье(определение ряда Фурье, теорема Дирихле)
- •19. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •20. Ряд Фурье для периодических функций с периодом 2l
- •21.Разложение функций только по синусам или только по косинусам
- •22. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
- •23.Определение обыкновенного дифференциального уравнения и его решения (линейные уравнения, однородные и неоднородные уравнения, понятие интегральной кривой, общее и частное решение уравнения)
- •24. Дифференциальные уравнения первого порядка (задача Коши, теорема Коши, понятие изоклины и поля направлений)
- •25.Решение дифференциального уравнения с разделенными переменными
- •26.Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
- •27.Решение однородного дифференциального уравнения
- •28. Линейные дифференциальные уравнения (метод Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации постоянной)).
- •29.Уравнение Бернулли
- •30. Уравнение Риккати
- •31. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •I. Уравнение в полных дифференциалах.
- •II. Интегрирующий множитель.
- •32.Огибающие семейства кривых, особые решение и особые точки (узел, седло, центр, фокус)
- •33. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •38. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •39. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (выбор частных решений для некоторых функций в правой части уравнений, метод вариации постоянных).
- •40. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •41.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (интегрирование путем сведения к уравнению более высокого порядка, метод составления характеристического уравнения).
- •II. Решение систем дифференциальных уравнений.
- •Метод сведения системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка.
- •Метод составления характеристического уравнения.
- •41. Преобразование Лапласа и его основные свойства, поиск изображения по оригиналу и оригинала по изображению, решение дифференциальных уравнений и их систем операционным методом.
1.Определение векторного пространства, подпространства, пересечение пространств, прямая сумма пространств.
Определение векторного пространства.
Определение.
Пусть имеется множество
,
на котором введена бинарная операция
(отображение
).
Пусть также определена операция умножения
элементов множества
на элементы, принадлежащие полю
,
,
где
(т.е. отображение
).
Множество
называется векторным
пространством
(или линейным
пространством)
над полем
,
если выполняются следующие условия:
1)
- абелева группа относительно введенной
бинарной операции
,
единичный элемент этой группы будем
обозначать
и называть нулевым вектором;
2)
и
справедливы равенства
и
;
3)
и
имеет место равенство
;
4)
выполняется равенство
,
где
.
Элементы векторного пространства называются векторами.
Определение.
Пусть некоторое подмножество
обладает следующими свойствами: а) если
,
то и
;
б) если
,
то и
.
Подмножество
,
являющееся векторным пространством,
называется подпространством
пространства
.
Нулевой вектор пространства
и само пространство
называют тривиальными
подпространствами пространства
.
Все остальные подпространства пространства
называются нетривиальными.
Определение.
Пусть
и
- два подпространства одного и того же
векторного пространства
.
Множество всех векторов
,
принадлежащих одновременно подпространствам
и
,
называется их пересечением.
Множество всех векторов вида
,
где
и
,
носит название суммы
подпространств
и
.
Как пересечение, так и сумма подпространств
являются, в свою очередь, векторными
пространствами - подпространствами
пространства
.
Определение.
Говорят, что пространство
является прямой
суммой своих
подпространств
,
если: а)
существует разложение
;
б) это разложение единственно. В этом
случае будем писать
.
2. Линейная оболочка системы векторов, линейно независимые вектора, базис векторного пространства, координаты вектора, размерность пространства, преобразования базисов и координат.
Пусть
- некоторые векторы пространства
.
Полное множество векторов вида
,
где
,
называется линейной
оболочкой
системы векторов
.
Линейная оболочка векторов является
векторным пространством (говорят, что
векторное пространство «натянуто» на
векторы
).
Рассмотрим
подпространство
векторного пространства
.
Назовем вектор
сравнимым
с вектором
(точнее, сравнимым относительно
),
если
,
где
.
Отношение сравнения является отношением
эквивалентности и позволяет разбить
векторное пространство
на взаимно непересекающиеся классы
эквивалентности
.
Здесь
- совокупность всех векторов пространства
,
сравнимых с вектором
.
Определенное таким образом множество
классов эквивалентности
обозначим
.
Введем на множестве
бинарную операцию
и правило умножение элементов этого
множества на числа из поля
.
Введенные операции превращают множество
в векторное пространство.
Определение. Векторное пространство называется факторпространством пространства по подпространству .
Заметим, что если
- размерность пространства
,
а
- размерность подпространства
,
то размерность факторпространства
равна
.
Базис векторного пространства и преобразование координат.
Определение.
Векторы
называются линейно
независимыми,
если равенство
возможно тогда и только тогда, когда
все числа
равны нулю. В противном случае векторы
называются линейно
зависимыми.
Определение.
Система линейно независимых векторов
в пространстве
образует его базис,
если
существует разложение
,
где
- элементы поля
,
над которым задано векторное пространство
.
Числа
называются координатами
вектора
относительно базиса
.
Теорема. Координаты вектора относительно заданного базиса определяются однозначно.
Отметим, что число базисных векторов определяет размерность векторного пространства.
Рассмотрим два
базиса
и
(штрихованный и не штрихованный)
пространства
.
Разложим один и тот же вектор относительно
этих базисов
,
.
(Здесь использовано обозначение Эйнштейна: если в формуле верхний и нижний индекс совпадает, то по этому индексу подразумевается суммирование). Видим, что при переходе к другому базису меняются координаты вектора (но не сам вектор!). Для нахождения формул преобразования координат, разложим векторы штрихованного базиса по не штрихованному базису
,
,
………………………..
.
Определенная таким образом матрица
называется матрицей
преобразования
базиса
к базису
( или матрицей
перехода от
базиса
к базису
.
Подставим формулу
в разложение вектора
относительно штрихованного базиса
.
Поскольку координаты
вектора относительно базиса определяются
однозначно, получаем
.
Обратим это равенство. С этой целью
умножим левую и правую части этого
равенства на элементы новой матрицы
:
.
«Свернем» это равенство по индексам
и
,
т.е. приравняем их и возьмем сумму по
единому индексу,
.
Определим новую матрицу
равенством
,
где
-
символ Кронекера. Тогда
или
.
Следовательно, координаты вектора
преобразуются с помощью матрицы
,
являющейся обратной к матрице
Замечание.
Образуем матрицы
,
,
и
.
Формулы разложения
вектора по базисам на матричном языке
имеют вид
,
а формулы преобразований базисов и
координат записываются следующим
образом
.
3.Гомоморфные и изоморфные отображения векторных пространств, линейные операторы, матрица оператора, собственные значения и собственные вектора оператора.
Определение.
Пусть
и
- два векторных пространства. Отображение
называется
гомеоморфным
отображением или
гомеоморфизмом, если
оно сохраняет линейные операции, т.е.
если выполняется равенство
.
Определение.
Взаимно однозначное гомоморфное
отображение
называется изоморфным
отображением или
изоморфизмом.
Если такое отображение
существует, то пространства
и
называются изоморфными.
Определение.
Гомоморфное отображение
называется линейным
оператором на
пространстве
.
Множество линейных
операторов на пространстве
можно превратить в векторное пространство,
задав сумму операторов правилом
и произведение оператора на число
.
Каждому оператору можно поставить в
соответствие матрицу, если выбрать
некоторый базис
пространства
.
Подействуем оператором
на каждый базисный вектор и разложим
получающиеся векторы по базису
,
,
…………………………
.
Матрица
называется матрицей
оператора
относительно
базиса
.
При фиксированном базисе пространства
любая
-матрица
определяет оператор на этом пространстве.
Действительно,
,
где
.
Взаимно однозначное соответствие между
операторами и их матрицами определяет
изоморфизм между векторным пространством
операторов и векторным пространством
-матриц.
Так как изоморфные пространства имеют
одинаковую размерность, размерность
векторного пространства операторов
равна
.
При выборе другого базиса
пространства
меняется матрица оператора (сам оператор
не меняется, так как является вектором).
Правило преобразования матрицы оператора
имеет вид
.
Определение.
Вектор
называется собственным
вектором оператора
,
если
,
где
называется собственным
значением оператора
.
4. Группы преобразований векторных пространств.
5.Сопряженные пространства, пространства билинейных функционалов.
Определение.
Сопряженным
(или
дуальным,
или
двойственным)
векторным
пространством
к пространству
называется векторное пространство
линейных отображений (форм, функционалов)
таких, что
.
Сумма векторов в пространстве
вводится
правилом
,
а умножение на число определяется
следующим образом
.
Определение.
Отображение
называется билинейным
функционалом на
,
если при фиксированном значении одного
аргумента оно является линейным
функционалом относительно другого,
т.е.
,
.
6. Скалярное произведение, вещественное евклидово пространство(скалярное произведение, неравенство Коши-Буняковского, ортонормированный базис, процедура ортогонализации)
Определение.
Векторное пространство
с заданным на нем билинейным функционалом
называется пространством со скалярным
умножением. Значение
(число)
функционала
на векторе
будем называть скалярным
произведением векторов
,
и обозначать
.
Скалярное произведение в общем случае не обладает какой-либо симметрией. Выделим три случая:
1)
.
Такие скалярные произведения называются
симметричными
и задаются симметричными матрицами
,
где
.
Геометрия пространств с симметричным
скалярным произведением называется
ортогональной
геометрией.
2)
.
Такие скалярные произведения называются
антисимметричными
(симплектическими)
и задаются антисимметричными матрицами
.
Геометрия пространств с антисимметричным
скалярным произведением называется
симплектической
геометрией.
3)
.
Такие скалярные произведения задаются
матрицами, удовлетворяющими свойству
,
в векторных пространствах, определенных
над полем комплексных чисел, и называются
эрмитово-симметричными.
В качестве
примера можно привести скалярное
произведение волновых функций в квантовой
механике
.
Определение.
Векторное пространство
с симметричным скалярным умножением,
заданное над полем вещественных чисел
,
называется евклидовым
пространством, если
,
причем равенство
имеет место только в случае нулевого
вектора
.
Замечание.
Квадратичная форма
,
обладающая отмеченным выше свойством,
называется положительно
определенной квадратичной формой.
В евклидовом
пространстве можно ввести норму
(длину)
вектора правилом
.
Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых двух векторов и евклидового пространства справедливо неравенство
.
Следствие (неравенство треугольника). Для любых двух векторов и евклидового пространства справедливо неравенство
.
Справедливость неравенства Коши-Буняковского для евклидовых пространств позволяет ввести для этих пространств понятие угла между векторами с помощью формулы
.
В общем случае два
вектора пространства
со скалярным умножением
называются ортогональными,
если их
скалярное произведение
равно нулю. В евклидовых пространствах
угол между ортогональными векторами
равен
(т.е. такие векторы перпендикулярны).
Определение.
Будем говорить, что
элементов
-мерного
евклидового пространства образует
ортонормированный
базис этого
пространства, если эти элементы попарно
ортогональны и норма каждого из этих
элементов равна единице, т.е. если
.
Теорема. Во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство
этой теоремы заключается в построении
такого базиса. Пусть
- некоторый базис пространства
.
Ортонормированным базисом
будет базис:
,
где
;
,
где
;
,
где
;
………………………………………..
,
где
.
Отметим два основных свойства ортонормированных базисов.
Свойство 1. При использовании ортонормированного базиса скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
Действительно,
.
Свойство 2. Координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы.
Действительно,